Trigonometría Ejemplos

$\sin (2 x) > \cos (2 x)$

Paso 1

Resuelve $\frac{π}{8} + \frac{π n}{2} < x < \frac{5 π}{8} + \frac{π n}{2}$ .

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Paso 1.1

Divide cada término en la ecuación por $\cos (2 x)$ .

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} > \frac{\cos (2 x)}{\cos (2 x)}$

Paso 1.2

Convierte de $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ a $\tan (2 x)$ .

$\tan (2 x) > \frac{\cos (2 x)}{\cos (2 x)}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $\cos (2 x)$ .

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común.

$\tan (2 x) > \frac{\cos (2 x)}{\cos (2 x)}$

Paso 1.3.2

Reescribe la expresión.

$\tan (2 x) > 1$

Paso 1.4

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$2 x > \arctan (1)$

Paso 1.5

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.1

El valor exacto de $\arctan (1)$ es $\frac{π}{4}$ .

$2 x > \frac{π}{4}$

Paso 1.6

Divide cada término en $2 x > \frac{π}{4}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 1.6.1

Divide cada término en $2 x > \frac{π}{4}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} > \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Paso 1.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.6.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} > \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Paso 1.6.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x > \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Paso 1.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.6.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x > \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 1.6.3.2

Multiplica $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 1.6.3.2.1

Multiplica $\frac{π}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x > \frac{π}{4 \cdot 2}$

Paso 1.6.3.2.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$x > \frac{π}{8}$

Paso 1.7

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$2 x = π + \frac{π}{4}$

Paso 1.8

Resuelve $x$

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Paso 1.8.1

Simplifica.

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Paso 1.8.1.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$2 x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 1.8.1.2

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 1.8.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Paso 1.8.1.4

Suma $π \cdot 4$ y $π$ .

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Paso 1.8.1.4.1

Reordena $π$ y $4$ .

$2 x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Paso 1.8.1.4.2

Suma $4 \cdot π$ y $π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{4}$

Paso 1.8.2

Divide cada término en $2 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 1.8.2.1

Divide cada término en $2 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Paso 1.8.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.8.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.8.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Paso 1.8.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Paso 1.8.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.8.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{5 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 1.8.2.3.2

Multiplica $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 1.8.2.3.2.1

Multiplica $\frac{5 π}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 2}$

Paso 1.8.2.3.2.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$x = \frac{5 π}{8}$

Paso 1.9

Obtén el período de $\tan (2 x)$ .

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Paso 1.9.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 1.9.2

Reemplaza $b$ con $2$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 2 |}$

Paso 1.9.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\frac{π}{2}$

Paso 1.10

El período de la función $\tan (2 x)$ es $\frac{π}{2}$ , por lo que los valores se repetirán cada $\frac{π}{2}$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.11

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.12

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$\frac{π}{8} < x < \frac{5 π}{8}$

Paso 1.13

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 1.13.1

Prueba un valor en el intervalo $\frac{π}{8} < x < \frac{5 π}{8}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.13.1.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{π}{8} < x < \frac{5 π}{8}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1$

Paso 1.13.1.2

Reemplaza $x$ con $1$ en la desigualdad original.

$\sin (2 (1)) > \cos (2 (1))$

Paso 1.13.1.3

$0.90929742$ del lado izquierdo es mayor que $- 0.41614683$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 1.13.2

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$\frac{π}{8} < x < \frac{5 π}{8}$ Verdadero

Paso 1.14

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$\frac{π}{8} + \frac{π n}{2} < x < \frac{5 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2

Usa la desigualdad $\frac{π}{8} + \frac{π n}{2} < x < \frac{5 π}{8} + \frac{π n}{2}$ para crear la notación de conjunto.

${x | \frac{π}{8} + \frac{π n}{2} < x < \frac{5 π}{8} + \frac{π n}{2}}$

Paso 3