Trigonometría Ejemplos

$\frac{\sin (30)}{x} = \frac{\sin (60)}{y}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $\frac{\sin (60)}{y} = \frac{\sin (30)}{x}$ .

$\frac{\sin (60)}{y} = \frac{\sin (30)}{x}$

Paso 2

Factoriza cada término.

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Paso 2.1

El valor exacto de $\sin (60)$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{y} = \frac{\sin (30)}{x}$

Paso 2.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{y} = \frac{\sin (30)}{x}$

Paso 2.3

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 y} = \frac{\sin (30)}{x}$

Paso 2.4

El valor exacto de $\sin (30)$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 y} = \frac{\frac{1}{2}}{x}$

Paso 2.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{\sqrt{3}}{2 y} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 2.6

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 y} = \frac{1}{2 x}$

Paso 3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$2 y, 2 x$

Paso 3.2

Como $2 y, 2 x$ contiene tanto números como variables, hay dos pasos para obtener el MCM. Obtén el MCM para la parte numérica $2, 2$ y, luego, obtén el MCM para la parte variable $y^{1}, x^{1}$ .

Paso 3.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 3.4

Como $2$ no tiene factores además de $1$ y $2$ .

$2$ es un número primo

Paso 3.5

El MCM de $2, 2$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$2$

Paso 3.6

El factor para $y^{1}$ es $y$ en sí mismo.

$y^{1} = y$

$y$ ocurre $1$ vez.

Paso 3.7

El factor para $x^{1}$ es $x$ en sí mismo.

$x^{1} = x$

$x$ ocurre $1$ vez.

Paso 3.8

El MCM de $y^{1}, x^{1}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$y \cdot x$

Paso 3.9

Multiplica $y$ por $x$ .

$y x$

Paso 3.10

El MCM para $2 y, 2 x$ es la parte numérica $2$ multiplicada por la parte variable.

$2 y x$

Paso 4

Multiplica cada término en $\frac{\sqrt{3}}{2 y} = \frac{1}{2 x}$ por $2 y x$ para eliminar las fracciones.

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Paso 4.1

Multiplica cada término en $\frac{\sqrt{3}}{2 y} = \frac{1}{2 x}$ por $2 y x$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 y} (2 y x) = \frac{1}{2 x} (2 y x)$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \frac{\sqrt{3}}{2 y} (y x) = \frac{1}{2 x} (2 y x)$

Paso 4.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 y$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{2 (y)} (y x) = \frac{1}{2 x} (2 y x)$

Paso 4.2.2.2

Cancela el factor común.

$2 \frac{\sqrt{3}}{2 y} (y x) = \frac{1}{2 x} (2 y x)$

Paso 4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{3}}{y} (y x) = \frac{1}{2 x} (2 y x)$

Paso 4.2.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 4.2.3.1

Factoriza $y$ de $y x$ .

$\frac{\sqrt{3}}{y} (y (x)) = \frac{1}{2 x} (2 y x)$

Paso 4.2.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{3}}{y} (y x) = \frac{1}{2 x} (2 y x)$

Paso 4.2.3.3

Reescribe la expresión.

$\sqrt{3} x = \frac{1}{2 x} (2 y x)$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\sqrt{3} x = 2 \frac{1}{2 x} (y x)$

Paso 4.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.2.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\sqrt{3} x = 2 \frac{1}{2 (x)} (y x)$

Paso 4.3.2.2

Cancela el factor común.

$\sqrt{3} x = 2 \frac{1}{2 x} (y x)$

Paso 4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\sqrt{3} x = \frac{1}{x} (y x)$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.3.3.1

Factoriza $x$ de $y x$ .

$\sqrt{3} x = \frac{1}{x} (x y)$

Paso 4.3.3.2

Cancela el factor común.

$\sqrt{3} x = \frac{1}{x} (x y)$

Paso 4.3.3.3

Reescribe la expresión.

$\sqrt{3} x = y$

Paso 5

Reescribe la ecuación como $y = \sqrt{3} x$ .

$y = \sqrt{3} x$

Paso 6

Intercambia las variables.

$x = \sqrt{3} y$

Paso 7

Resuelve $y$

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Paso 7.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt{3} y = x$ .

$\sqrt{3} y = x$

Paso 7.2

Divide cada término en $\sqrt{3} y = x$ por $\sqrt{3}$ y simplifica.

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Paso 7.2.1

Divide cada término en $\sqrt{3} y = x$ por $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} y}{\sqrt{3}} = \frac{x}{\sqrt{3}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.1

Cancela el factor común de $\sqrt{3}$ .

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Paso 7.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{3} y}{\sqrt{3}} = \frac{x}{\sqrt{3}}$

Paso 7.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x}{\sqrt{3}}$

Paso 7.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.3.1

Multiplica $\frac{x}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \frac{x}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 7.2.3.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 7.2.3.2.1

Multiplica $\frac{x}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \frac{x \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 7.2.3.2.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{x \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 7.2.3.2.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{x \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 7.2.3.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{x \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 7.2.3.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$y = \frac{x \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 7.2.3.2.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 7.2.3.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{x \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 7.2.3.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{x \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 7.2.3.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y = \frac{x \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.2.3.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.3.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{x \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.2.3.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x \sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 7.2.3.2.6.5

Evalúa el exponente.

$y = \frac{x \sqrt{3}}{3}$

Paso 8

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{x \sqrt{3}}{3}$

Paso 9

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{x \sqrt{3}}{3}$ es la inversa de $f (x) = \sqrt{3} x$ .

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Paso 9.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 9.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 9.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 9.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\sqrt{3} x)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{(\sqrt{3} x) \sqrt{3}}{3}$

Paso 9.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.3.1

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3}$

Paso 9.2.3.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3}$

Paso 9.2.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3}$

Paso 9.2.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x {\sqrt{3}}^{2}}{3}$

Paso 9.2.4

Simplifica los términos.

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Paso 9.2.4.1

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 9.2.4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}$

Paso 9.2.4.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}$

Paso 9.2.4.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3}$

Paso 9.2.4.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.2.4.1.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3}$

Paso 9.2.4.1.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x \cdot 3}{3}$

Paso 9.2.4.1.5

Evalúa el exponente.

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x \cdot 3}{3}$

Paso 9.2.4.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.2.4.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x \cdot 3}{3}$

Paso 9.2.4.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = x$

Paso 9.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 9.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 9.3.2

Evalúa $f (\frac{x \sqrt{3}}{3})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \sqrt{3} (\frac{x \sqrt{3}}{3})$

Paso 9.3.3

Multiplica $\sqrt{3} (\frac{x \sqrt{3}}{3})$ .

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Paso 9.3.3.1

Combina $\sqrt{3}$ y $\frac{x \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3} (x \sqrt{3})}{3}$

Paso 9.3.3.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3}$

Paso 9.3.3.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3}$

Paso 9.3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3}$

Paso 9.3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x {\sqrt{3}}^{2}}{3}$

Paso 9.3.4

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 9.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}$

Paso 9.3.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}$

Paso 9.3.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3}$

Paso 9.3.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.4.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3}$

Paso 9.3.4.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x \cdot 3}{3}$

Paso 9.3.4.5

Evalúa el exponente.

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x \cdot 3}{3}$

Paso 9.3.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.3.5.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x \cdot 3}{3}$

Paso 9.3.5.2

Divide $x$ por $1$ .

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = x$

Paso 9.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{x \sqrt{3}}{3}$ es la inversa de $f (x) = \sqrt{3} x$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x \sqrt{3}}{3}$