Trigonometría Ejemplos

$\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}$

Step 1

Intercambia las variables.

$x = \frac{\sec (y) + \tan (y) \csc (y)}{\tan (y)}$

Step 2

Resuelve $y$

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Reescribe la ecuación como $\frac{\sec (y) + \tan (y) \csc (y)}{\tan (y)} = x$ .

$\frac{\sec (y) + \tan (y) \csc (y)}{\tan (y)} = x$

Simplifica el lado izquierdo.

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Simplifica $\frac{\sec (y) + \tan (y) \csc (y)}{\tan (y)}$ .

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Simplifica el numerador.

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Reescribe en términos de senos y cosenos, luego, cancela los factores comunes.

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Reescribe $\tan (y) \csc (y)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{\sec (y) + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{1}{\sin (y)}}{\tan (y)} = x$

Cancela los factores comunes.

$\frac{\sec (y) + \frac{1}{\cos (y)}}{\tan (y)} = x$

Convierte de $\frac{1}{\cos (y)}$ a $\sec (y)$ .

$\frac{\sec (y) + \sec (y)}{\tan (y)} = x$

Suma $\sec (y)$ y $\sec (y)$ .

$\frac{2 \sec (y)}{\tan (y)} = x$

Separa las fracciones.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\sec (y)}{\tan (y)} = x$

Reescribe $\tan (y)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\sec (y)}{\frac{\sin (y)}{\cos (y)}} = x$

Reescribe $\sec (y)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (y)}}{\frac{\sin (y)}{\cos (y)}} = x$

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ .

$\frac{2}{1} (\frac{1}{\cos (y)} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)}) = x$

Cancela el factor común de $\cos (y)$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2}{1} (\frac{1}{\cos (y)} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)}) = x$

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (y)} = x$

Convierte de $\frac{1}{\sin (y)}$ a $\csc (y)$ .

$\frac{2}{1} \csc (y) = x$

Divide $2$ por $1$ .

$2 \csc (y) = x$

Divide cada término en $2 \csc (y) = x$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 \csc (y) = x$ por $2$ .

$\frac{2 \csc (y)}{2} = \frac{x}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 \csc (y)}{2} = \frac{x}{2}$

Divide $\csc (y)$ por $1$ .

$\csc (y) = \frac{x}{2}$

Calcula la inversa de la cosecante de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de la cosecante.

$y = arccsc (\frac{x}{2})$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = arccsc (\frac{x}{2})$

Step 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = arccsc (\frac{x}{2})$ es la inversa de $f (x) = \frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}$ .

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Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Evalúa $f^{- 1} (\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}) = arccsc (\frac{\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}}{2})$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}) = arccsc (\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{1}{2})$

Simplifica el numerador.

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Reescribe en términos de senos y cosenos, luego, cancela los factores comunes.

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Reescribe $\tan (x) \csc (x)$ en términos de senos y cosenos.

$f^{- 1} (\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}) = arccsc (\frac{\sec (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}}{\tan (x)} \cdot \frac{1}{2})$

Cancela los factores comunes.

$f^{- 1} (\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}) = arccsc (\frac{\sec (x) + \frac{1}{\cos (x)}}{\tan (x)} \cdot \frac{1}{2})$

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$f^{- 1} (\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}) = arccsc (\frac{\sec (x) + \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{1}{2})$

Suma $\sec (x)$ y $\sec (x)$ .

$f^{- 1} (\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}) = arccsc (\frac{2 \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{1}{2})$

Cancela el factor común de $2$ .

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Factoriza $2$ de $2 \sec (x)$ .

$f^{- 1} (\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}) = arccsc (\frac{2 (\sec (x))}{\tan (x)} \cdot \frac{1}{2})$

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}) = arccsc (\frac{2 \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{1}{2})$

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}) = arccsc (\frac{\sec (x)}{\tan (x)})$

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$f^{- 1} (\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}) = arccsc (\frac{\sec (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}})$

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$f^{- 1} (\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}) = arccsc (\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}})$

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}) = arccsc (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}) = arccsc (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}) = arccsc (\frac{1}{\sin (x)})$

Convierte de $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$f^{- 1} (\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}) = arccsc (\csc (x))$

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Evalúa $f (arccsc (\frac{x}{2}))$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\sec (arccsc (\frac{x}{2})) + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Simplifica el numerador.

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Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}, 1)$ , $(\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}, 0)$ y el origen. Entonces $arccsc (\frac{x}{2})$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}, 1)$ . Por lo tanto, $\sec (arccsc (\frac{x}{2}))$ es $\frac{\frac{x}{2}}{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{\frac{x}{2}}{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Combinar.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \cdot 1}{2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Multiplica $x$ por $1$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Simplifica el denominador.

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Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \frac{x}{2}$ y $b = 1$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{2 \sqrt{(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Simplifica.

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Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{2 \sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot (\frac{x}{2} - 1)}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 1 \cdot 2}{2}}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Multiplica $\frac{x + 2}{2}$ por $\frac{x - 2}{2}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Reescribe $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ .

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Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $(x + 2) (x - 2)$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Factoriza la potencia perfecta $2^{2}$ de $4$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Retira los términos de abajo del radical.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{(x + 2) (x - 2)})} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{2 (\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2})} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Combina $2$ y $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Reduce la expresión $\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Cancela el factor común.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Reescribe la expresión.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{1}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Divide $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ por $1$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Multiplica $\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ por $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}} \cdot \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Combina y simplifica el denominador.

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Multiplica $\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ por $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Eleva $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ a la potencia de $1$ .

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1 + 1}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Suma $1$ y $1$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{2}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Reescribe ${\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{2}$ como $(x + 2) (x - 2)$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ como ${((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{2}{2}}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{2}{2}}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Reescribe la expresión.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Simplifica.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Reescribe en términos de senos y cosenos, luego, cancela los factores comunes.

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Reescribe $\tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))$ en términos de senos y cosenos.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{\sin (arccsc (\frac{x}{2}))}{\cos (arccsc (\frac{x}{2}))} \cdot \frac{1}{\sin (arccsc (\frac{x}{2}))}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Cancela los factores comunes.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{1}{\cos (arccsc (\frac{x}{2}))}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Convierte de $\frac{1}{\cos (arccsc (\frac{x}{2}))}$ a $\sec (arccsc (\frac{x}{2}))$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \sec (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{\frac{x}{2}}{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Combinar.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x \cdot 1}{2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Multiplica $x$ por $1$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \frac{x}{2}$ y $b = 1$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{2 \sqrt{(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{2 \sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot (\frac{x}{2} - 1)}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 1 \cdot 2}{2}}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Multiplica $\frac{x + 2}{2}$ por $\frac{x - 2}{2}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{2 \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{2 \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Reescribe $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $(x + 2) (x - 2)$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{2 \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Factoriza la potencia perfecta $2^{2}$ de $4$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{2 \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Retira los términos de abajo del radical.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{(x + 2) (x - 2)})}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{2 (\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2})}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Combina $2$ y $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Reduce la expresión $\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Reescribe la expresión.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{1}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Divide $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ por $1$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Multiplica $\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ por $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}} \cdot \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Combina y simplifica el denominador.

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Multiplica $\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ por $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Eleva $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ a la potencia de $1$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Eleva $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ a la potencia de $1$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1 + 1}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Suma $1$ y $1$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{2}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Reescribe ${\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{2}$ como $(x + 2) (x - 2)$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ como ${((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{2}{2}}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{2}{2}}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Reescribe la expresión.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Simplifica.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Suma $\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$ y $\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Simplifica el denominador.

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Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}, 1)$ , $(\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}, 0)$ y el origen. Entonces $arccsc (\frac{x}{2})$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}, 1)$ . Por lo tanto, $\tan (arccsc (\frac{x}{2}))$ es $\frac{1}{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{1}{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}$

Simplifica el denominador.

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Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{1}{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}}}$

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \frac{x}{2}$ y $b = 1$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{1}{\sqrt{(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)}}}$

Simplifica.

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Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{1}{\sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)}}}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{1}{\sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot (\frac{x}{2} - 1)}}}$

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{1}{\sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}}}$

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{1}{\sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}}}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{1}{\sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 1 \cdot 2}{2}}}}$

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{1}{\sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}}}}$

Multiplica $\frac{x + 2}{2}$ por $\frac{x - 2}{2}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{1}{\sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}}}}$

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{1}{\sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}}}}$

Reescribe $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ .

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Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $(x + 2) (x - 2)$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{1}{\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}}}}$

Factoriza la potencia perfecta $2^{2}$ de $4$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{1}{\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}}}}$

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{1}{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}}}$

Retira los términos de abajo del radical.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{1}{\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}}}$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{1 (\frac{2}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}})}$

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ por $1$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{2}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}$

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ por $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{2}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}} \cdot \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}$

Combina y simplifica el denominador.

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Multiplica $\frac{2}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ por $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}$

Eleva $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ a la potencia de $1$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}$

Eleva $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ a la potencia de $1$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1 + 1}}}$

Suma $1$ y $1$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{2}}}$

Reescribe ${\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{2}$ como $(x + 2) (x - 2)$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ como ${((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{2}{2}}}}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{2}{2}}}}$

Reescribe la expresión.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}}$

Simplifica.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}}$

Combina $2$ y $\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{2 (x \sqrt{(x + 2) (x - 2)})}{(x + 2) (x - 2)}}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}}$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

Cancela el factor común de $2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

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Factoriza $2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ de $2 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x)}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

Cancela el factor común.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} x}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

Reescribe la expresión.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{x}{(x + 2) (x - 2)} \cdot ((x + 2) (x - 2))$

Cancela el factor común de $(x + 2) (x - 2)$ .

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Cancela el factor común.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{x}{(x + 2) (x - 2)} \cdot ((x + 2) (x - 2))$

Reescribe la expresión.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = x$

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = arccsc (\frac{x}{2})$ es la inversa de $f (x) = \frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}$ .

$f^{- 1} (x) = arccsc (\frac{x}{2})$