Trigonometría Ejemplos

$\frac{\sec (x)}{\csc (x)}$

Step 1

Intercambia las variables.

$x = \frac{\sec (y)}{\csc (y)}$

Step 2

Resuelve $y$

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Reescribe la ecuación como $\frac{\sec (y)}{\csc (y)} = x$ .

$\frac{\sec (y)}{\csc (y)} = x$

Simplifica el lado izquierdo.

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Simplifica $\frac{\sec (y)}{\csc (y)}$ .

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Reescribe $\csc (y)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{\sec (y)}{\frac{1}{\sin (y)}} = x$

Reescribe $\sec (y)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{\frac{1}{\cos (y)}}{\frac{1}{\sin (y)}} = x$

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\sin (y)}$ .

$\frac{\sin (y)}{\cos (y)} = x$

Convierte de $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ a $\tan (y)$ .

$\tan (y) = x$

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de la tangente.

$y = \arctan (x)$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \arctan (x)$

Step 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \arctan (x)$ es la inversa de $f (x) = \frac{\sec (x)}{\csc (x)}$ .

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Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Evalúa $f^{- 1} (\frac{\sec (x)}{\csc (x)})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sec (x)}{\csc (x)}) = \arctan (\frac{\sec (x)}{\csc (x)})$

Reescribe $\csc (x)$ en términos de senos y cosenos.

$f^{- 1} (\frac{\sec (x)}{\csc (x)}) = \arctan (\frac{\sec (x)}{\frac{1}{\sin (x)}})$

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$f^{- 1} (\frac{\sec (x)}{\csc (x)}) = \arctan (\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\frac{1}{\sin (x)}})$

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sec (x)}{\csc (x)}) = \arctan (\frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$f^{- 1} (\frac{\sec (x)}{\csc (x)}) = \arctan (\tan (x))$

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Evalúa $f (\arctan (x))$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\arctan (x)) = \frac{\sec (\arctan (x))}{\csc (\arctan (x))}$

Reescribe $\csc (\arctan (x))$ en términos de senos y cosenos.

$f (\arctan (x)) = \frac{\sec (\arctan (x))}{\frac{1}{\sin (\arctan (x))}}$

Reescribe $\sec (\arctan (x))$ en términos de senos y cosenos.

$f (\arctan (x)) = \frac{\frac{1}{\cos (\arctan (x))}}{\frac{1}{\sin (\arctan (x))}}$

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\sin (\arctan (x))}$ .

$f (\arctan (x)) = \frac{\sin (\arctan (x))}{\cos (\arctan (x))}$

Convierte de $\frac{\sin (\arctan (x))}{\cos (\arctan (x))}$ a $\tan (\arctan (x))$ .

$f (\arctan (x)) = \tan (\arctan (x))$

Las funciones tangente y arcotangente son inversas.

$f (\arctan (x)) = x$

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \arctan (x)$ es la inversa de $f (x) = \frac{\sec (x)}{\csc (x)}$ .

$f^{- 1} (x) = \arctan (x)$