Trigonometría Ejemplos

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$

Step 1

Intercambia las variables.

$x = \frac{\cos (2 y)}{\sin (y)}$

Step 2

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Reescribe la ecuación como $\frac{\cos (2 y)}{\sin (y)} = x$ .

$\frac{\cos (2 y)}{\sin (y)} = x$

Multiplica ambos lados por $\sin (y)$ .

$\frac{\cos (2 y)}{\sin (y)} \sin (y) = x \sin (y)$

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de $\sin (y)$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{\cos (2 y)}{\sin (y)} \sin (y) = x \sin (y)$

Reescribe la expresión.

$\cos (2 y) = x \sin (y)$

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (2 x)$ a $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (y) = x \sin (y)$

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 \sin^{2} (y) = x \sin (y) - 1$

Resta $x \sin (y)$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 \sin^{2} (y) - x \sin (y) = - 1$

Resuelve la ecuación en $y$ .

Toca para ver más pasos...

Sustituye $u$ por $\sin (y)$ .

$- 2 {(u)}^{2} - x u = - 1$

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$- 2 u^{2} - x u + 1 = 0$

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Sustituye los valores $a = - 2$ , $b = - x$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - 4 \cdot (- 2 \cdot 1)}}{2 \cdot - 2}$

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Aplica la regla del producto a $- x$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Multiplica $- 4 \cdot - 2 \cdot 1$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Multiplica $8$ por $1$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{2 \cdot - 2}$

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{- 4}$

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$u = - \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Aplica la regla del producto a $- x$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Multiplica $- 4 \cdot - 2 \cdot 1$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Multiplica $8$ por $1$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{2 \cdot - 2}$

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{- 4}$

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$u = - \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Cambia $\pm$ a $+$ .

$u = - \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Aplica la regla del producto a $- x$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Multiplica $- 4 \cdot - 2 \cdot 1$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Multiplica $8$ por $1$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{2 \cdot - 2}$

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{- 4}$

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$u = - \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Cambia $\pm$ a $-$ .

$u = - \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = - \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

$u = - \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Sustituye $\sin (y)$ por $u$ .

$\sin (y) = - \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4}, - \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $y$ .

$\sin (y) = - \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

$\sin (y) = - \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Resuelve $y$ en $\sin (y) = - \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de seno.

$y = \arcsin (- \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Simplifica el lado derecho.

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Simplifica $\arcsin (- \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ .

Toca para ver más pasos...

Divide la fracción $\frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$ en dos fracciones.

$y = \arcsin (- (\frac{x}{4} + \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4}))$

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \arcsin (- \frac{x}{4} - \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Simplifica el lado derecho.

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Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Resuelve $y$ en $\sin (y) = - \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de seno.

$y = \arcsin (- \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Simplifica $\arcsin (- \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ .

Toca para ver más pasos...

Divide la fracción $\frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$ en dos fracciones.

$y = \arcsin (- (\frac{x}{4} + \frac{- \sqrt{x^{2} + 8}}{4}))$

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \arcsin (- (\frac{x}{4} - \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4}))$

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \arcsin (- \frac{x}{4} - - \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Multiplica $- - \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4}$ .

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Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = \arcsin (- \frac{x}{4} + 1 \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Multiplica $\frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4}$ por $1$ .

$y = \arcsin (- \frac{x}{4} + \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Simplifica el lado derecho.

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Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Enumera todas las soluciones.

$y = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}), \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Step 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}), \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ es la inversa de $f (x) = \frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$ .

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El dominio de la inversa es el rango de la función original y viceversa. Obtén el dominio y el rango de $f (x) = \frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$ y $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}), \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ y compáralos.

Obtén el rango de $f (x) = \frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$ .

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El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

Find the domain of the inverse.

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Obtén el dominio de $\arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ .

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Establece el radicando en $\sqrt{x^{2} + 8}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x^{2} + 8 \geq 0$

Resuelve $x$

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Resta $8$ de ambos lados de la desigualdad.

$x^{2} \geq - 8$

Como el lado izquierdo tiene una potencia par, siempre es positivo para todos los números reales.

Todos los números reales

Establece el argumento en $\arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ mayor o igual que $- 1$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \geq - 1$

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Multiplica ambos lados por $4$ .

$\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \geq - 1 \cdot 4$

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \geq - 1 \cdot 4$

Reescribe la expresión.

$- x - \sqrt{x^{2} + 8} \geq - 1 \cdot 4$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- x - \sqrt{x^{2} + 8} \geq - 4$

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Suma $x$ a ambos lados de la desigualdad.

$- \sqrt{x^{2} + 8} \geq - 4 + x$

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${(- \sqrt{x^{2} + 8})}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + 8}$ como ${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Simplifica ${(- {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Aplica la regla del producto a $- {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 {({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Multiplica ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ por $1$ .

${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Reescribe la expresión.

${(x^{2} + 8)}^{1} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Simplifica.

$x^{2} + 8 \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Simplifica ${(- 4 + x)}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Reescribe ${(- 4 + x)}^{2}$ como $(- 4 + x) (- 4 + x)$ .

$x^{2} + 8 \geq (- 4 + x) (- 4 + x)$

Expande $(- 4 + x) (- 4 + x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 8 \geq - 4 (- 4 + x) + x (- 4 + x)$

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 8 \geq - 4 \cdot - 4 - 4 x + x (- 4 + x)$

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 8 \geq - 4 \cdot - 4 - 4 x + x \cdot - 4 + x \cdot x$

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 4 x + x \cdot - 4 + x \cdot x$

Mueve $- 4$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 4 x - 4 \cdot x + x \cdot x$

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 4 x - 4 x + x^{2}$

Resta $4 x$ de $- 4 x$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 8 x + x^{2}$

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Reescribe para que $x$ quede en el lado izquierdo de la desigualdad.

$16 - 8 x + x^{2} \leq x^{2} + 8$

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la desigualdad.

Toca para ver más pasos...

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la desigualdad.

$16 - 8 x + x^{2} - x^{2} \leq 8$

Combina los términos opuestos en $16 - 8 x + x^{2} - x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$16 - 8 x + 0 \leq 8$

Suma $16 - 8 x$ y $0$ .

$16 - 8 x \leq 8$

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la desigualdad.

Toca para ver más pasos...

Resta $16$ de ambos lados de la desigualdad.

$- 8 x \leq 8 - 16$

Resta $16$ de $8$ .

$- 8 x \leq - 8$

Divide cada término en $- 8 x \leq - 8$ por $- 8$ y simplifica.

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Divide cada término de $- 8 x \leq - 8$ por $- 8$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- 8 x}{- 8} \geq \frac{- 8}{- 8}$

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de $- 8$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{- 8 x}{- 8} \geq \frac{- 8}{- 8}$

Divide $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{- 8}{- 8}$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Divide $- 8$ por $- 8$ .

$x \geq 1$

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq 1$

Establece el argumento en $\arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ menor o igual que $1$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \leq 1$

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Multiplica ambos lados por $4$ .

$\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \leq 1 \cdot 4$

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \leq 1 \cdot 4$

Reescribe la expresión.

$- x - \sqrt{x^{2} + 8} \leq 1 \cdot 4$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $4$ por $1$ .

$- x - \sqrt{x^{2} + 8} \leq 4$

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Suma $x$ a ambos lados de la desigualdad.

$- \sqrt{x^{2} + 8} \leq 4 + x$

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${(- \sqrt{x^{2} + 8})}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Simplifica cada lado de la desigualdad.

Toca para ver más pasos...

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + 8}$ como ${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Simplifica ${(- {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Aplica la regla del producto a $- {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 {({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Multiplica ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ por $1$ .

${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Reescribe la expresión.

${(x^{2} + 8)}^{1} \leq {(4 + x)}^{2}$

Simplifica.

$x^{2} + 8 \leq {(4 + x)}^{2}$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Simplifica ${(4 + x)}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Reescribe ${(4 + x)}^{2}$ como $(4 + x) (4 + x)$ .

$x^{2} + 8 \leq (4 + x) (4 + x)$

Expande $(4 + x) (4 + x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 8 \leq 4 (4 + x) + x (4 + x)$

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 8 \leq 4 \cdot 4 + 4 x + x (4 + x)$

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 8 \leq 4 \cdot 4 + 4 x + x \cdot 4 + x \cdot x$

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $4$ por $4$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 4 x + x \cdot 4 + x \cdot x$

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 4 x + 4 \cdot x + x \cdot x$

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 4 x + 4 x + x^{2}$

Suma $4 x$ y $4 x$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 8 x + x^{2}$

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Reescribe para que $x$ quede en el lado izquierdo de la desigualdad.

$16 + 8 x + x^{2} \geq x^{2} + 8$

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la desigualdad.

Toca para ver más pasos...

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la desigualdad.

$16 + 8 x + x^{2} - x^{2} \geq 8$

Combina los términos opuestos en $16 + 8 x + x^{2} - x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$16 + 8 x + 0 \geq 8$

Suma $16 + 8 x$ y $0$ .

$16 + 8 x \geq 8$

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la desigualdad.

Toca para ver más pasos...

Resta $16$ de ambos lados de la desigualdad.

$8 x \geq 8 - 16$

Resta $16$ de $8$ .

$8 x \geq - 8$

Divide cada término en $8 x \geq - 8$ por $8$ y simplifica.

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Divide cada término en $8 x \geq - 8$ por $8$ .

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{- 8}{8}$

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de $8$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{- 8}{8}$

Divide $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{- 8}{8}$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Divide $- 8$ por $8$ .

$x \geq - 1$

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 1$

$x > - 1$

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

Toca para ver más pasos...

Prueba un valor en el intervalo $x < - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Elije un valor en el intervalo $x < - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$\frac{- (- 4) - \sqrt{{(- 4)}^{2} + 8}}{4} \leq 1$

$- 0.22474487$ del lado izquierdo es menor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Prueba un valor en el intervalo $x > - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Elije un valor en el intervalo $x > - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{- (0) - \sqrt{{(0)}^{2} + 8}}{4} \leq 1$

$- 0.70710678$ del lado izquierdo es menor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 1$ Verdadero

$x > - 1$ Verdadero

$x < - 1$ Verdadero

$x > - 1$ Verdadero

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq - 1$ o $x \geq - 1$

Combina los intervalos.

Todos los números reales

Obtén el dominio de $\arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ .

Toca para ver más pasos...

Establece el radicando en $\sqrt{x^{2} + 8}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x^{2} + 8 \geq 0$

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Resta $8$ de ambos lados de la desigualdad.

$x^{2} \geq - 8$

Como el lado izquierdo tiene una potencia par, siempre es positivo para todos los números reales.

Todos los números reales

Establece el argumento en $\arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ mayor o igual que $- 1$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \geq - 1$

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Multiplica ambos lados por $4$ .

$\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \geq - 1 \cdot 4$

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \geq - 1 \cdot 4$

Reescribe la expresión.

$- x + \sqrt{x^{2} + 8} \geq - 1 \cdot 4$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- x + \sqrt{x^{2} + 8} \geq - 4$

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Suma $x$ a ambos lados de la desigualdad.

$\sqrt{x^{2} + 8} \geq - 4 + x$

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${\sqrt{x^{2} + 8}}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Simplifica cada lado de la desigualdad.

Toca para ver más pasos...

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + 8}$ como ${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Simplifica ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Reescribe la expresión.

${(x^{2} + 8)}^{1} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Simplifica.

$x^{2} + 8 \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Simplifica ${(- 4 + x)}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Reescribe ${(- 4 + x)}^{2}$ como $(- 4 + x) (- 4 + x)$ .

$x^{2} + 8 \geq (- 4 + x) (- 4 + x)$

Expande $(- 4 + x) (- 4 + x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 8 \geq - 4 (- 4 + x) + x (- 4 + x)$

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 8 \geq - 4 \cdot - 4 - 4 x + x (- 4 + x)$

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 8 \geq - 4 \cdot - 4 - 4 x + x \cdot - 4 + x \cdot x$

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 4 x + x \cdot - 4 + x \cdot x$

Mueve $- 4$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 4 x - 4 \cdot x + x \cdot x$

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 4 x - 4 x + x^{2}$

Resta $4 x$ de $- 4 x$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 8 x + x^{2}$

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Reescribe para que $x$ quede en el lado izquierdo de la desigualdad.

$16 - 8 x + x^{2} \leq x^{2} + 8$

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la desigualdad.

Toca para ver más pasos...

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la desigualdad.

$16 - 8 x + x^{2} - x^{2} \leq 8$

Combina los términos opuestos en $16 - 8 x + x^{2} - x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$16 - 8 x + 0 \leq 8$

Suma $16 - 8 x$ y $0$ .

$16 - 8 x \leq 8$

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la desigualdad.

Toca para ver más pasos...

Resta $16$ de ambos lados de la desigualdad.

$- 8 x \leq 8 - 16$

Resta $16$ de $8$ .

$- 8 x \leq - 8$

Divide cada término en $- 8 x \leq - 8$ por $- 8$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Divide cada término de $- 8 x \leq - 8$ por $- 8$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- 8 x}{- 8} \geq \frac{- 8}{- 8}$

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de $- 8$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{- 8 x}{- 8} \geq \frac{- 8}{- 8}$

Divide $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{- 8}{- 8}$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Divide $- 8$ por $- 8$ .

$x \geq 1$

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 1$

$x > 1$

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

Toca para ver más pasos...

Prueba un valor en el intervalo $x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Elije un valor en el intervalo $x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{- (0) + \sqrt{{(0)}^{2} + 8}}{4} \geq - 1$

$0.70710678$ del lado izquierdo es mayor que $- 1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Prueba un valor en el intervalo $x > 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Elije un valor en el intervalo $x > 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{- (4) + \sqrt{{(4)}^{2} + 8}}{4} \geq - 1$

$0.22474487$ del lado izquierdo es mayor que $- 1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 1$ Verdadero

$x > 1$ Verdadero

$x < 1$ Verdadero

$x > 1$ Verdadero

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq 1$ o $x \geq 1$

Combina los intervalos.

Todos los números reales

Establece el argumento en $\arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ menor o igual que $1$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \leq 1$

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Multiplica ambos lados por $4$ .

$\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \leq 1 \cdot 4$

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \leq 1 \cdot 4$

Reescribe la expresión.

$- x + \sqrt{x^{2} + 8} \leq 1 \cdot 4$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $4$ por $1$ .

$- x + \sqrt{x^{2} + 8} \leq 4$

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Suma $x$ a ambos lados de la desigualdad.

$\sqrt{x^{2} + 8} \leq 4 + x$

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${\sqrt{x^{2} + 8}}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Simplifica cada lado de la desigualdad.

Toca para ver más pasos...

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + 8}$ como ${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Simplifica ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Reescribe la expresión.

${(x^{2} + 8)}^{1} \leq {(4 + x)}^{2}$

Simplifica.

$x^{2} + 8 \leq {(4 + x)}^{2}$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Simplifica ${(4 + x)}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Reescribe ${(4 + x)}^{2}$ como $(4 + x) (4 + x)$ .

$x^{2} + 8 \leq (4 + x) (4 + x)$

Expande $(4 + x) (4 + x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 8 \leq 4 (4 + x) + x (4 + x)$

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 8 \leq 4 \cdot 4 + 4 x + x (4 + x)$

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 8 \leq 4 \cdot 4 + 4 x + x \cdot 4 + x \cdot x$

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $4$ por $4$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 4 x + x \cdot 4 + x \cdot x$

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 4 x + 4 \cdot x + x \cdot x$

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 4 x + 4 x + x^{2}$

Suma $4 x$ y $4 x$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 8 x + x^{2}$

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Reescribe para que $x$ quede en el lado izquierdo de la desigualdad.

$16 + 8 x + x^{2} \geq x^{2} + 8$

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la desigualdad.

Toca para ver más pasos...

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la desigualdad.

$16 + 8 x + x^{2} - x^{2} \geq 8$

Combina los términos opuestos en $16 + 8 x + x^{2} - x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$16 + 8 x + 0 \geq 8$

Suma $16 + 8 x$ y $0$ .

$16 + 8 x \geq 8$

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la desigualdad.

Toca para ver más pasos...

Resta $16$ de ambos lados de la desigualdad.

$8 x \geq 8 - 16$

Resta $16$ de $8$ .

$8 x \geq - 8$

Divide cada término en $8 x \geq - 8$ por $8$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Divide cada término en $8 x \geq - 8$ por $8$ .

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{- 8}{8}$

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de $8$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{- 8}{8}$

Divide $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{- 8}{8}$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Divide $- 8$ por $8$ .

$x \geq - 1$

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[- 1, \infty)$

Toca para ver más pasos...

La unión consiste en todos los elementos contenidos en cada intervalo.

$(- \infty, \infty)$

Como el dominio de $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}), \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ no es igual al rango de $f (x) = \frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$ , entonces $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}), \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ no es una inversa de $f (x) = \frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$ .

No hay una inversa

Step 5