Trigonometría Ejemplos

$\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = \frac{2}{3} y - \frac{1}{2}$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $\frac{2}{3} y - \frac{1}{2} = x$ .

$\frac{2}{3} y - \frac{1}{2} = x$

Paso 2.2

Combina $\frac{2}{3}$ y $y$ .

$\frac{2 y}{3} - \frac{1}{2} = x$

Paso 2.3

Suma $\frac{1}{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{2 y}{3} = x + \frac{1}{2}$

Paso 2.4

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y}{3} = \frac{3}{2} (x + \frac{1}{2})$

Paso 2.5

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 2.5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.1.1

Simplifica $\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y}{3}$ .

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Paso 2.5.1.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.5.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y}{3} = \frac{3}{2} (x + \frac{1}{2})$

Paso 2.5.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} (2 y) = \frac{3}{2} (x + \frac{1}{2})$

Paso 2.5.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.5.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 y$ .

$\frac{1}{2} (2 (y)) = \frac{3}{2} (x + \frac{1}{2})$

Paso 2.5.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} (2 y) = \frac{3}{2} (x + \frac{1}{2})$

Paso 2.5.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{3}{2} (x + \frac{1}{2})$

Paso 2.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.2.1

Simplifica $\frac{3}{2} (x + \frac{1}{2})$ .

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Paso 2.5.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 2.5.2.1.2

Combina $\frac{3}{2}$ y $x$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 2.5.2.1.3

Multiplica $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 2.5.2.1.3.1

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2 \cdot 2}$

Paso 2.5.2.1.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}$ es la inversa de $f (x) = \frac{2}{3} x - \frac{1}{2}$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{3 (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2})}{2} + \frac{3}{4}$

Paso 4.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.3.1.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $x$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{3 (\frac{2 x}{3} - \frac{1}{2})}{2} + \frac{3}{4}$

Paso 4.2.3.1.2

Para escribir $\frac{2 x}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{3 (\frac{2 x}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})}{2} + \frac{3}{4}$

Paso 4.2.3.1.3

Para escribir $- \frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{3 (\frac{2 x}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})}{2} + \frac{3}{4}$

Paso 4.2.3.1.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.2.3.1.4.1

Multiplica $\frac{2 x}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{3 (\frac{2 x \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})}{2} + \frac{3}{4}$

Paso 4.2.3.1.4.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{3 (\frac{2 x \cdot 2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})}{2} + \frac{3}{4}$

Paso 4.2.3.1.4.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{3 (\frac{2 x \cdot 2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3})}{2} + \frac{3}{4}$

Paso 4.2.3.1.4.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{3 (\frac{2 x \cdot 2}{6} - \frac{3}{6})}{2} + \frac{3}{4}$

Paso 4.2.3.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{3 (\frac{2 x \cdot 2 - 3}{6})}{2} + \frac{3}{4}$

Paso 4.2.3.1.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{3 (\frac{4 x - 3}{6})}{2} + \frac{3}{4}$

Paso 4.2.3.2

Combina $3$ y $\frac{4 x - 3}{6}$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{\frac{3 (4 x - 3)}{6}}{2} + \frac{3}{4}$

Paso 4.2.3.3

Reduce la expresión $\frac{3 (4 x - 3)}{6}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.2.3.3.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{\frac{3 (4 x - 3)}{3 \cdot 2}}{2} + \frac{3}{4}$

Paso 4.2.3.3.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{\frac{3 (4 x - 3)}{3 \cdot 2}}{2} + \frac{3}{4}$

Paso 4.2.3.3.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{\frac{4 x - 3}{2}}{2} + \frac{3}{4}$

Paso 4.2.3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{4 x - 3}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{4}$

Paso 4.2.3.5

Multiplica $\frac{4 x - 3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 4.2.3.5.1

Multiplica $\frac{4 x - 3}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{4 x - 3}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4}$

Paso 4.2.3.5.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{4 x - 3}{4} + \frac{3}{4}$

Paso 4.2.4

Simplifica los términos.

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Paso 4.2.4.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{4 x - 3 + 3}{4}$

Paso 4.2.4.2

Combina los términos opuestos en $4 x - 3 + 3$ .

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Paso 4.2.4.2.1

Suma $- 3$ y $3$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{4 x + 0}{4}$

Paso 4.2.4.2.2

Suma $4 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{4 x}{4}$

Paso 4.2.4.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.2.4.3.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{4 x}{4}$

Paso 4.2.4.3.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}) = \frac{2}{3} \cdot (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}) - \frac{1}{2}$

Paso 4.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} - \frac{1}{2}$

Paso 4.3.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.3.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} - \frac{1}{2}$

Paso 4.3.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x) + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} - \frac{1}{2}$

Paso 4.3.3.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.3.3.3.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (x)) + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} - \frac{1}{2}$

Paso 4.3.3.3.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x) + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} - \frac{1}{2}$

Paso 4.3.3.3.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}) = x + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} - \frac{1}{2}$

Paso 4.3.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.3.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}) = x + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2 (2)} - \frac{1}{2}$

Paso 4.3.3.4.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}) = x + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2}$

Paso 4.3.3.4.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}) = x + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 4.3.3.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.3.3.5.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}) = x + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 4.3.3.5.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}) = x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 4.3.4

Combina los términos opuestos en $x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$ .

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Paso 4.3.4.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}) = x + \frac{1 - 1}{2}$

Paso 4.3.4.2

Resta $1$ de $1$ .

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}) = x + \frac{0}{2}$

Paso 4.3.4.3

Divide $0$ por $2$ .

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}) = x + 0$

Paso 4.3.4.4

Suma $x$ y $0$ .

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}$ es la inversa de $f (x) = \frac{2}{3} x - \frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}$