Trigonometría Ejemplos

$\frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}$

Step 1

Intercambia las variables.

$x = \frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)}$

Step 2

Resuelve $y$

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Reescribe la ecuación como $\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} = x$ .

$\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} = x$

Multiplica ambos lados por $1 + \cot (y)$ .

$\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} (1 + \cot (y)) = x (1 + \cot (y))$

Simplifica.

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Simplifica el lado izquierdo.

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Simplifica $\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} (1 + \cot (y))$ .

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Cancela el factor común de $1 + \cot (y)$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} (1 + \cot (y)) = x (1 + \cot (y))$

Reescribe la expresión.

$1 - \cot (- y) = x (1 + \cot (y))$

Simplifica cada término.

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Como $\cot (- y)$ es una función impar, reescribe $\cot (- y)$ como $- \cot (y)$ .

$1 - - \cot (y) = x (1 + \cot (y))$

Multiplica $- - \cot (y)$ .

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Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 + 1 \cot (y) = x (1 + \cot (y))$

Multiplica $\cot (y)$ por $1$ .

$1 + \cot (y) = x (1 + \cot (y))$

Simplifica el lado derecho.

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Simplifica $x (1 + \cot (y))$ .

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Aplica la propiedad distributiva.

$1 + \cot (y) = x \cdot 1 + x \cot (y)$

Multiplica $x$ por $1$ .

$1 + \cot (y) = x + x \cot (y)$

Resuelve $y$

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Sustituye $u$ por $\cot (y)$ .

$1 + u = x + x (u)$

Resta $x u$ de ambos lados de la ecuación.

$1 + u - x u = x$

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$u - x u = x - 1$

Factoriza $u$ de $u - x u$ .

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Factoriza $u$ de $u^{1}$ .

$u \cdot 1 - x u = x - 1$

Factoriza $u$ de $- x u$ .

$u \cdot 1 + u (- x) = x - 1$

Factoriza $u$ de $u \cdot 1 + u (- x)$ .

$u (1 - x) = x - 1$

Divide cada término en $u (1 - x) = x - 1$ por $1 - x$ y simplifica.

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Divide cada término en $u (1 - x) = x - 1$ por $1 - x$ .

$\frac{u (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $1 - x$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{u (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x}$

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{x}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x}$

Simplifica el lado derecho.

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Combina los numeradores sobre el denominador común.

$u = \frac{x - 1}{1 - x}$

Cancela el factor común de $x - 1$ y $1 - x$ .

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Factoriza $- 1$ de $x$ .

$u = \frac{- 1 (- x) - 1}{1 - x}$

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$u = \frac{- 1 (- x) - 1 (1)}{1 - x}$

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- x) - 1 (1)$ .

$u = \frac{- 1 (- x + 1)}{1 - x}$

Reordena los términos.

$u = \frac{- 1 (- x + 1)}{- x + 1}$

Cancela el factor común.

$u = \frac{- 1 (- x + 1)}{- x + 1}$

Divide $- 1$ por $1$ .

$u = - 1$

Sustituye $\cot (y)$ por $u$ .

$\cot (y) = - 1$

Resta la inversa de la cotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de la cotangente.

$y = arccot (- 1)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $arccot (- 1)$ es $\frac{3 π}{4}$ .

$y = \frac{3 π}{4}$

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$y = \frac{3 π}{4} - π$

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Suma $2 π$ a $\frac{3 π}{4} - π$ .

$y = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

El ángulo resultante de $\frac{7 π}{4}$ es positivo y coterminal con $\frac{3 π}{4} - π$ .

$y = \frac{7 π}{4}$

Obtén el período de $\cot (y)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Divide $π$ por $1$ .

$π$

El período de la función $\cot (y)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$y = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Consolida las respuestas.

$y = \frac{3 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n$

Step 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n$ es la inversa de $f (x) = \frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}$ .

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Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Evalúa $f^{- 1} (\frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}) = \frac{3 π}{4} + π n$

Reordena $\frac{3 π}{4}$ y $π n$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}) = π n + \frac{3 π}{4}$

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Evalúa $f (\frac{3 π}{4} + π n)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{3 π}{4} + π n) = \frac{1 - \cot (- (\frac{3 π}{4} + π n))}{1 + \cot (\frac{3 π}{4} + π n)}$

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{3 π}{4} + π n) = \frac{1 - \cot (- \frac{3 π}{4} - π n)}{1 + \cot (\frac{3 π}{4} + π n)}$

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n$ es la inversa de $f (x) = \frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n$