Trigonometría Ejemplos

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1$

Paso 1

Resta $\frac{1}{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{y} = 1 - \frac{1}{x}$

Paso 2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y, 1, x$

Paso 2.2

Since $y, 1, x$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $y^{1}, x^{1}$ .

Paso 2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 2.4

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 2.5

El MCM de $1, 1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$1$

Paso 2.6

El factor para $y^{1}$ es $y$ en sí mismo.

$y^{1} = y$

$y$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.7

El factor para $x^{1}$ es $x$ en sí mismo.

$x^{1} = x$

$x$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.8

El MCM de $y^{1}, x^{1}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$y \cdot x$

Paso 2.9

Multiplica $y$ por $x$ .

$y x$

Paso 3

Multiplica cada término en $\frac{1}{y} = 1 - \frac{1}{x}$ por $y x$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{y} = 1 - \frac{1}{x}$ por $y x$ .

$\frac{1}{y} (y x) = 1 (y x) - \frac{1}{x} (y x)$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.2.1.1

Factoriza $y$ de $y x$ .

$\frac{1}{y} (y (x)) = 1 (y x) - \frac{1}{x} (y x)$

Paso 3.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} (y x) = 1 (y x) - \frac{1}{x} (y x)$

Paso 3.2.1.3

Reescribe la expresión.

$x = 1 (y x) - \frac{1}{x} (y x)$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.1

Multiplica $y x$ por $1$ .

$x = y x - \frac{1}{x} (y x)$

Paso 3.3.1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.3.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x}$ al numerador.

$x = y x + \frac{- 1}{x} (y x)$

Paso 3.3.1.2.2

Factoriza $x$ de $y x$ .

$x = y x + \frac{- 1}{x} (x y)$

Paso 3.3.1.2.3

Cancela el factor común.

$x = y x + \frac{- 1}{x} (x y)$

Paso 3.3.1.2.4

Reescribe la expresión.

$x = y x - y$

Paso 4

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $y x - y = x$ .

$y x - y = x$

Paso 4.2

Factoriza $y$ de $y x - y$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $y$ de $y x$ .

$y (x) - y = x$

Paso 4.2.2

Factoriza $y$ de $- y$ .

$y (x) + y \cdot - 1 = x$

Paso 4.2.3

Factoriza $y$ de $y (x) + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = x$

Paso 4.3

Divide cada término en $y (x - 1) = x$ por $x - 1$ y simplifica.

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Paso 4.3.1

Divide cada término en $y (x - 1) = x$ por $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Paso 4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.2.1

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Paso 4.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x}{x - 1}$

Paso 5

Intercambia las variables.

$x = \frac{y}{y - 1}$

Paso 6

Resuelve $y$

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Paso 6.1

Multiplica la ecuación por $y - 1$ .

$(y - 1) (x) = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Simplifica $(y - 1) (x)$ .

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Paso 6.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y x - 1 x = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

Paso 6.2.1.2

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$y x - x = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Cancela el factor común de $y - 1$ .

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Paso 6.3.1.1

Cancela el factor común.

$y x - x = \frac{y}{y - 1} (y - 1)$

Paso 6.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y x - x = y$

Paso 6.4

Resuelve $y$

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Paso 6.4.1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$y x - x - y = 0$

Paso 6.4.2

Suma $x$ a ambos lados de la ecuación.

$y x - y = x$

Paso 6.4.3

Factoriza $y$ de $y x - y$ .

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Paso 6.4.3.1

Factoriza $y$ de $y x$ .

$y (x) - y = x$

Paso 6.4.3.2

Factoriza $y$ de $- y$ .

$y (x) + y \cdot - 1 = x$

Paso 6.4.3.3

Factoriza $y$ de $y (x) + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = x$

Paso 6.4.4

Divide cada término en $y (x - 1) = x$ por $x - 1$ y simplifica.

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Paso 6.4.4.1

Divide cada término en $y (x - 1) = x$ por $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Paso 6.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.4.2.1

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 6.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Paso 6.4.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x}{x - 1}$

Paso 7

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$

Paso 8

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$ es la inversa de $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ .

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Paso 8.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 8.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 8.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 8.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{x}{x - 1})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{\frac{x}{x - 1}}{(\frac{x}{x - 1}) - 1}$

Paso 8.2.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1}$

Paso 8.2.4

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.4.1

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}}$

Paso 8.2.4.2

Combina $- 1$ y $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} + \frac{- (x - 1)}{x - 1}}$

Paso 8.2.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - (x - 1)}{x - 1}}$

Paso 8.2.4.4

Reescribe $\frac{x - (x - 1)}{x - 1}$ en forma factorizada.

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Paso 8.2.4.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

Paso 8.2.4.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

Paso 8.2.4.4.3

Resta $x$ de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{x - 1}}$

Paso 8.2.4.4.4

Suma $0$ y $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{x - 1}}$

Paso 8.2.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (1 (x - 1))$

Paso 8.2.6

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 8.2.6.1

Factoriza $x - 1$ de $1 (x - 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

Paso 8.2.6.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

Paso 8.2.6.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = x$

Paso 8.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 8.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 8.3.2

Evalúa $f (\frac{x}{x - 1})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{\frac{x}{x - 1}}{(\frac{x}{x - 1}) - 1}$

Paso 8.3.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1}$

Paso 8.3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 8.3.4.1

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}}$

Paso 8.3.4.2

Combina $- 1$ y $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} + \frac{- (x - 1)}{x - 1}}$

Paso 8.3.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - (x - 1)}{x - 1}}$

Paso 8.3.4.4

Reescribe $\frac{x - (x - 1)}{x - 1}$ en forma factorizada.

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Paso 8.3.4.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

Paso 8.3.4.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

Paso 8.3.4.4.3

Resta $x$ de $x$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{x - 1}}$

Paso 8.3.4.4.4

Suma $0$ y $1$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{x - 1}}$

Paso 8.3.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (1 (x - 1))$

Paso 8.3.6

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 8.3.6.1

Factoriza $x - 1$ de $1 (x - 1)$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

Paso 8.3.6.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

Paso 8.3.6.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x}{x - 1}) = x$

Paso 8.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$ es la inversa de $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$