Trigonometría Ejemplos

$45^{y}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $45^{y} = x$ .

$45^{y} = x$

Paso 2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (45^{y}) = \ln (x)$

Paso 3

Expande $\ln (45^{y})$ ; para ello, mueve $y$ fuera del logaritmo.

$y \ln (45) = \ln (x)$

Paso 4

Divide cada término en $y \ln (45) = \ln (x)$ por $\ln (45)$ y simplifica.

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Paso 4.1

Divide cada término en $y \ln (45) = \ln (x)$ por $\ln (45)$ .

$\frac{y \ln (45)}{\ln (45)} = \frac{\ln (x)}{\ln (45)}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $\ln (45)$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \ln (45)}{\ln (45)} = \frac{\ln (x)}{\ln (45)}$

Paso 4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{\ln (45)}$

Paso 5

Intercambia las variables.

$x = \frac{\ln (y)}{\ln (45)}$

Paso 6

Resuelve $y$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $\frac{\ln (y)}{\ln (45)} = x$ .

$\frac{\ln (y)}{\ln (45)} = x$

Paso 6.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\ln (45)$ .

$\ln (45) \frac{\ln (y)}{\ln (45)} = \ln (45) x$

Paso 6.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 6.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.1.1

Cancela el factor común de $\ln (45)$ .

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Paso 6.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\ln (45) \frac{\ln (y)}{\ln (45)} = \ln (45) x$

Paso 6.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\ln (y) = \ln (45) x$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.1

Reordena los factores en $\ln (45) x$ .

$\ln (y) = x \ln (45)$

Paso 6.4

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (y)} = e^{x \ln (45)}$

Paso 6.5

Reescribe $\ln (y) = x \ln (45)$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x \ln (45)} = y$

Paso 6.6

Reescribe la ecuación como $y = e^{x \ln (45)}$ .

$y = e^{x \ln (45)}$

Paso 7

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = e^{x \ln (45)}$

Paso 8

Verifica si $f^{- 1} (x) = e^{x \ln (45)}$ es la inversa de $f (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (45)}$ .

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Paso 8.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 8.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 8.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 8.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{\ln (x)}{\ln (45)})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\ln (x)}{\ln (45)}) = e^{(\frac{\ln (x)}{\ln (45)}) \ln (45)}$

Paso 8.2.3

Cancela el factor común de $\ln (45)$ .

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Paso 8.2.3.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{\ln (x)}{\ln (45)}) = e^{\frac{\ln (x)}{\ln (45)} \cdot \ln (45)}$

Paso 8.2.3.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{\ln (x)}{\ln (45)}) = e^{\ln (x)}$

Paso 8.2.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f^{- 1} (\frac{\ln (x)}{\ln (45)}) = x$

Paso 8.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 8.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 8.3.2

Evalúa $f (e^{x \ln (45)})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (e^{x \ln (45)}) = \frac{\ln (e^{x \ln (45)})}{\ln (45)}$

Paso 8.3.3

Expande $\ln (e^{x \ln (45)})$ ; para ello, mueve $x \ln (45)$ fuera del logaritmo.

$f (e^{x \ln (45)}) = \frac{x \ln (45) \ln (e)}{\ln (45)}$

Paso 8.3.4

Cancela el factor común de $\ln (45)$ .

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Paso 8.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (e^{x \ln (45)}) = \frac{x \ln (45) \ln (e)}{\ln (45)}$

Paso 8.3.4.2

Divide $x \ln (e)$ por $1$ .

$f (e^{x \ln (45)}) = x \ln (e)$

Paso 8.3.5

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f (e^{x \ln (45)}) = x \cdot 1$

Paso 8.3.6

Multiplica $x$ por $1$ .

$f (e^{x \ln (45)}) = x$

Paso 8.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = e^{x \ln (45)}$ es la inversa de $f (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (45)}$ .

$f^{- 1} (x) = e^{x \ln (45)}$