Trigonometría Ejemplos

$x^{2} + y^{2} - 20 x - 16 y + 100 = 0$

Paso 1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 16$ y $c = x^{2} - 20 x + 100$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} - 20 x + 100))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.1

Reescribe $4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 20 x + 100)$ como ${(2 \cdot 1 \cdot (x - 10))}^{2}$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot (x - 10))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = - 16$ y $b = 2 \cdot 1 \cdot (x - 10)$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(- 16 + 2 \cdot 1 \cdot (x - 10)) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.3

Simplifica.

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Paso 3.1.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(- 16 + 2 \cdot (x - 10)) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(- 16 + 2 x + 2 \cdot - 10) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 10$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(- 16 + 2 x - 20) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.3.4

Resta $20$ de $- 16$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(2 x - 36) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.3.5

Factoriza $2$ de $2 x - 36$ .

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Paso 3.1.3.5.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(2 (x) - 36) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.3.5.2

Factoriza $2$ de $- 36$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(2 x + 2 \cdot - 18) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.3.5.3

Factoriza $2$ de $2 x + 2 \cdot - 18$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.3.6

Combina exponentes.

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Paso 3.1.3.6.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (- 16 - (2 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.3.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (- 16 - 2 (x - 10))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (- 16 - 2 x - 2 \cdot - 10)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.4.2

Multiplica $- 2$ por $- 10$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (- 16 - 2 x + 20)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.5

Suma $- 16$ y $20$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (- 2 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6

Factoriza $2$ de $- 2 x + 4$ .

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Paso 3.1.6.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (2 (- x) + 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (2 (- x) + 2 (2))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.3

Factoriza $2$ de $2 (- x) + 2 (2)$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (2 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) \cdot (2 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.7

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{4 (x - 18) (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.8

Reescribe $4 (x - 18) (- x + 2)$ como $2^{2} ((x - 18) (- x + 2))$ .

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Paso 3.1.8.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2^{2} (x - 18) (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.8.2

Agrega paréntesis.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2^{2} ((x - 18) (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.9

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{16 \pm 2 \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{16 \pm 2 \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}}{2}$

Paso 3.3

Simplifica $\frac{16 \pm 2 \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}}{2}$ .

$y = 8 \pm \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}$

Paso 4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Reescribe $4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 20 x + 100)$ como ${(2 \cdot 1 \cdot (x - 10))}^{2}$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot (x - 10))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = - 16$ y $b = 2 \cdot 1 \cdot (x - 10)$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(- 16 + 2 \cdot 1 \cdot (x - 10)) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.3

Simplifica.

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Paso 4.1.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(- 16 + 2 \cdot (x - 10)) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(- 16 + 2 x + 2 \cdot - 10) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 10$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(- 16 + 2 x - 20) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.3.4

Resta $20$ de $- 16$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(2 x - 36) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.3.5

Factoriza $2$ de $2 x - 36$ .

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Paso 4.1.3.5.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(2 (x) - 36) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.3.5.2

Factoriza $2$ de $- 36$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(2 x + 2 \cdot - 18) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.3.5.3

Factoriza $2$ de $2 x + 2 \cdot - 18$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.3.6

Combina exponentes.

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Paso 4.1.3.6.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (- 16 - (2 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.3.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (- 16 - 2 (x - 10))}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (- 16 - 2 x - 2 \cdot - 10)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.4.2

Multiplica $- 2$ por $- 10$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (- 16 - 2 x + 20)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.5

Suma $- 16$ y $20$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (- 2 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6

Factoriza $2$ de $- 2 x + 4$ .

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Paso 4.1.6.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (2 (- x) + 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (2 (- x) + 2 (2))}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6.3

Factoriza $2$ de $2 (- x) + 2 (2)$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (2 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) \cdot (2 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.7

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{4 (x - 18) (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.8

Reescribe $4 (x - 18) (- x + 2)$ como $2^{2} ((x - 18) (- x + 2))$ .

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Paso 4.1.8.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2^{2} (x - 18) (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.8.2

Agrega paréntesis.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2^{2} ((x - 18) (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.9

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{16 \pm 2 \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{16 \pm 2 \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}}{2}$

Paso 4.3

Simplifica $\frac{16 \pm 2 \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}}{2}$ .

$y = 8 \pm \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}$

Paso 4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = 8 + \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}$

Paso 5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Reescribe $4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 20 x + 100)$ como ${(2 \cdot 1 \cdot (x - 10))}^{2}$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot (x - 10))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = - 16$ y $b = 2 \cdot 1 \cdot (x - 10)$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(- 16 + 2 \cdot 1 \cdot (x - 10)) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.3

Simplifica.

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Paso 5.1.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(- 16 + 2 \cdot (x - 10)) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(- 16 + 2 x + 2 \cdot - 10) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 10$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(- 16 + 2 x - 20) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.3.4

Resta $20$ de $- 16$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(2 x - 36) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.3.5

Factoriza $2$ de $2 x - 36$ .

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Paso 5.1.3.5.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(2 (x) - 36) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.3.5.2

Factoriza $2$ de $- 36$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(2 x + 2 \cdot - 18) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.3.5.3

Factoriza $2$ de $2 x + 2 \cdot - 18$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.3.6

Combina exponentes.

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Paso 5.1.3.6.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (- 16 - (2 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.3.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (- 16 - 2 (x - 10))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (- 16 - 2 x - 2 \cdot - 10)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.4.2

Multiplica $- 2$ por $- 10$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (- 16 - 2 x + 20)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.5

Suma $- 16$ y $20$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (- 2 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6

Factoriza $2$ de $- 2 x + 4$ .

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Paso 5.1.6.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (2 (- x) + 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (2 (- x) + 2 (2))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.3

Factoriza $2$ de $2 (- x) + 2 (2)$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (2 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) \cdot (2 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.7

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{4 (x - 18) (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.8

Reescribe $4 (x - 18) (- x + 2)$ como $2^{2} ((x - 18) (- x + 2))$ .

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Paso 5.1.8.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2^{2} (x - 18) (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.8.2

Agrega paréntesis.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2^{2} ((x - 18) (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.9

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{16 \pm 2 \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{16 \pm 2 \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}}{2}$

Paso 5.3

Simplifica $\frac{16 \pm 2 \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}}{2}$ .

$y = 8 \pm \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}$

Paso 5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = 8 - \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}$

Paso 6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = 8 + \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}$

$y = 8 - \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}$

Paso 7

Intercambia las variables. Crea una ecuación para cada expresión.

$x = 8 + \sqrt{(y - 18) (- y + 2)}, x = 8 - \sqrt{(y - 18) (- y + 2)}$

Paso 8

Resuelve $y$

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Paso 8.1

Reescribe la ecuación como $8 + \sqrt{(y - 18) (- y + 2)} = x$ .

$8 + \sqrt{(y - 18) (- y + 2)} = x$

Paso 8.2

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{(y - 18) (- y + 2)} = x - 8$

Paso 8.3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{(y - 18) (- y + 2)}}^{2} = {(x - 8)}^{2}$

Paso 8.4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 8.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(y - 18) (- y + 2)}$ como ${((y - 18) (- y + 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({((y - 18) (- y + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 8)}^{2}$

Paso 8.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.4.2.1

Simplifica ${({((y - 18) (- y + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 8.4.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({((y - 18) (- y + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 8.4.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${((y - 18) (- y + 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 8)}^{2}$

Paso 8.4.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.4.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${((y - 18) (- y + 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 8)}^{2}$

Paso 8.4.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${((y - 18) (- y + 2))}^{1} = {(x - 8)}^{2}$

Paso 8.4.2.1.2

Expande $(y - 18) (- y + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 8.4.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

${(y (- y + 2) - 18 (- y + 2))}^{1} = {(x - 8)}^{2}$

Paso 8.4.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

${(y (- y) + y \cdot 2 - 18 (- y + 2))}^{1} = {(x - 8)}^{2}$

Paso 8.4.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

${(y (- y) + y \cdot 2 - 18 (- y) - 18 \cdot 2)}^{1} = {(x - 8)}^{2}$

Paso 8.4.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 8.4.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.4.2.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

${(- y \cdot y + y \cdot 2 - 18 (- y) - 18 \cdot 2)}^{1} = {(x - 8)}^{2}$

Paso 8.4.2.1.3.1.2

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 8.4.2.1.3.1.2.1

Mueve $y$ .

${(- (y \cdot y) + y \cdot 2 - 18 (- y) - 18 \cdot 2)}^{1} = {(x - 8)}^{2}$

Paso 8.4.2.1.3.1.2.2

Multiplica $y$ por $y$ .

${(- y^{2} + y \cdot 2 - 18 (- y) - 18 \cdot 2)}^{1} = {(x - 8)}^{2}$

Paso 8.4.2.1.3.1.3

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

${(- y^{2} + 2 \cdot y - 18 (- y) - 18 \cdot 2)}^{1} = {(x - 8)}^{2}$

Paso 8.4.2.1.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 18$ .

${(- y^{2} + 2 y + 18 y - 18 \cdot 2)}^{1} = {(x - 8)}^{2}$

Paso 8.4.2.1.3.1.5

Multiplica $- 18$ por $2$ .

${(- y^{2} + 2 y + 18 y - 36)}^{1} = {(x - 8)}^{2}$

Paso 8.4.2.1.3.2

Suma $2 y$ y $18 y$ .

${(- y^{2} + 20 y - 36)}^{1} = {(x - 8)}^{2}$

Paso 8.4.2.1.4

Simplifica.

$- y^{2} + 20 y - 36 = {(x - 8)}^{2}$

Paso 8.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.4.3.1

Simplifica ${(x - 8)}^{2}$ .

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Paso 8.4.3.1.1

Reescribe ${(x - 8)}^{2}$ como $(x - 8) (x - 8)$ .

$- y^{2} + 20 y - 36 = (x - 8) (x - 8)$

Paso 8.4.3.1.2

Expande $(x - 8) (x - 8)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 8.4.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- y^{2} + 20 y - 36 = x (x - 8) - 8 (x - 8)$

Paso 8.4.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- y^{2} + 20 y - 36 = x \cdot x + x \cdot - 8 - 8 (x - 8)$

Paso 8.4.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- y^{2} + 20 y - 36 = x \cdot x + x \cdot - 8 - 8 x - 8 \cdot - 8$

Paso 8.4.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.3.1.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.3.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$- y^{2} + 20 y - 36 = x^{2} + x \cdot - 8 - 8 x - 8 \cdot - 8$

Paso 8.4.3.1.3.1.2

Mueve $- 8$ a la izquierda de $x$ .

$- y^{2} + 20 y - 36 = x^{2} - 8 \cdot x - 8 x - 8 \cdot - 8$

Paso 8.4.3.1.3.1.3

Multiplica $- 8$ por $- 8$ .

$- y^{2} + 20 y - 36 = x^{2} - 8 x - 8 x + 64$

Paso 8.4.3.1.3.2

Resta $8 x$ de $- 8 x$ .

$- y^{2} + 20 y - 36 = x^{2} - 16 x + 64$

Paso 8.5

Resuelve $y$

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Paso 8.5.1

Mueve todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.5.1.1

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.5.1.1.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- y^{2} + 20 y - 36 - x^{2} = - 16 x + 64$

Paso 8.5.1.1.2

Suma $16 x$ a ambos lados de la ecuación.

$- y^{2} + 20 y - 36 - x^{2} + 16 x = 64$

Paso 8.5.1.1.3

Resta $64$ de ambos lados de la ecuación.

$- y^{2} + 20 y - 36 - x^{2} + 16 x - 64 = 0$

Paso 8.5.1.2

Resta $64$ de $- 36$ .

$- y^{2} + 20 y - x^{2} + 16 x - 100 = 0$

Paso 8.5.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 8.5.3

Sustituye los valores $a = - 1$ , $b = 20$ y $c = - x^{2} + 16 x - 100$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{- 20 \pm \sqrt{20^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (- x^{2} + 16 x - 100))}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.4

Simplifica.

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Paso 8.5.4.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.5.4.1.1

Eleva $20$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot - 1 \cdot (- x^{2} + 16 x - 100)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.4.1.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 + 4 \cdot (- x^{2} + 16 x - 100)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 + 4 (- x^{2}) + 4 (16 x) + 4 \cdot - 100}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.4.1.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.5.4.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 x^{2} + 4 (16 x) + 4 \cdot - 100}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.4.1.4.2

Multiplica $16$ por $4$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 x^{2} + 64 x + 4 \cdot - 100}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.4.1.4.3

Multiplica $4$ por $- 100$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 x^{2} + 64 x - 400}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.4.1.5

Resta $400$ de $400$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{- 4 x^{2} + 64 x + 0}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.4.1.6

Suma $- 4 x^{2} + 64 x$ y $0$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{- 4 x^{2} + 64 x}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.4.1.7

Factoriza $4 x$ de $- 4 x^{2} + 64 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.5.4.1.7.1

Factoriza $4 x$ de $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{4 x (- x) + 64 x}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.4.1.7.2

Factoriza $4 x$ de $64 x$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{4 x (- x) + 4 x (16)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.4.1.7.3

Factoriza $4 x$ de $4 x (- x) + 4 x (16)$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{4 x (- x + 16)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.4.1.8

Reescribe $4 x (- x + 16)$ como $2^{2} (x (- x + 4^{2}))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.5.4.1.8.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{2^{2} x (- x + 16)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.4.1.8.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{2^{2} x (- x + 4^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.4.1.8.3

Agrega paréntesis.

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{2^{2} (x (- x + 4^{2}))}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.4.1.9

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 20 \pm 2 \sqrt{x (- x + 4^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.4.1.10

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 20 \pm 2 \sqrt{x (- x + 16)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.4.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 20 \pm 2 \sqrt{x (- x + 16)}}{- 2}$

Paso 8.5.4.3

Simplifica $\frac{- 20 \pm 2 \sqrt{x (- x + 16)}}{- 2}$ .

$y = 10 \pm \sqrt{x (- x + 16)}$

Paso 8.5.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 8.5.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.5.5.1.1

Eleva $20$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot - 1 \cdot (- x^{2} + 16 x - 100)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.5.1.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 + 4 \cdot (- x^{2} + 16 x - 100)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 + 4 (- x^{2}) + 4 (16 x) + 4 \cdot - 100}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.5.1.4

Simplifica.

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Paso 8.5.5.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 x^{2} + 4 (16 x) + 4 \cdot - 100}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.5.1.4.2

Multiplica $16$ por $4$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 x^{2} + 64 x + 4 \cdot - 100}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.5.1.4.3

Multiplica $4$ por $- 100$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 x^{2} + 64 x - 400}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.5.1.5

Resta $400$ de $400$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{- 4 x^{2} + 64 x + 0}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.5.1.6

Suma $- 4 x^{2} + 64 x$ y $0$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{- 4 x^{2} + 64 x}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.5.1.7

Factoriza $4 x$ de $- 4 x^{2} + 64 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.5.5.1.7.1

Factoriza $4 x$ de $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{4 x (- x) + 64 x}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.5.1.7.2

Factoriza $4 x$ de $64 x$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{4 x (- x) + 4 x (16)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.5.1.7.3

Factoriza $4 x$ de $4 x (- x) + 4 x (16)$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{4 x (- x + 16)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.5.1.8

Reescribe $4 x (- x + 16)$ como $2^{2} (x (- x + 4^{2}))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.5.5.1.8.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{2^{2} x (- x + 16)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.5.1.8.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{2^{2} x (- x + 4^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.5.1.8.3

Agrega paréntesis.

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{2^{2} (x (- x + 4^{2}))}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.5.1.9

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 20 \pm 2 \sqrt{x (- x + 4^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.5.1.10

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 20 \pm 2 \sqrt{x (- x + 16)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.5.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 20 \pm 2 \sqrt{x (- x + 16)}}{- 2}$

Paso 8.5.5.3

Simplifica $\frac{- 20 \pm 2 \sqrt{x (- x + 16)}}{- 2}$ .

$y = 10 \pm \sqrt{x (- x + 16)}$

Paso 8.5.5.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = 10 + \sqrt{x (- x + 16)}$

Paso 8.5.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 8.5.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.5.6.1.1

Eleva $20$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot - 1 \cdot (- x^{2} + 16 x - 100)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.6.1.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 + 4 \cdot (- x^{2} + 16 x - 100)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 + 4 (- x^{2}) + 4 (16 x) + 4 \cdot - 100}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.6.1.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.5.6.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 x^{2} + 4 (16 x) + 4 \cdot - 100}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.6.1.4.2

Multiplica $16$ por $4$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 x^{2} + 64 x + 4 \cdot - 100}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.6.1.4.3

Multiplica $4$ por $- 100$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 x^{2} + 64 x - 400}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.6.1.5

Resta $400$ de $400$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{- 4 x^{2} + 64 x + 0}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.6.1.6

Suma $- 4 x^{2} + 64 x$ y $0$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{- 4 x^{2} + 64 x}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.6.1.7

Factoriza $4 x$ de $- 4 x^{2} + 64 x$ .

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Paso 8.5.6.1.7.1

Factoriza $4 x$ de $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{4 x (- x) + 64 x}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.6.1.7.2

Factoriza $4 x$ de $64 x$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{4 x (- x) + 4 x (16)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.6.1.7.3

Factoriza $4 x$ de $4 x (- x) + 4 x (16)$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{4 x (- x + 16)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.6.1.8

Reescribe $4 x (- x + 16)$ como $2^{2} (x (- x + 4^{2}))$ .

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Paso 8.5.6.1.8.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{2^{2} x (- x + 16)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.6.1.8.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{2^{2} x (- x + 4^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.6.1.8.3

Agrega paréntesis.

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{2^{2} (x (- x + 4^{2}))}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.6.1.9

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 20 \pm 2 \sqrt{x (- x + 4^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.6.1.10

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 20 \pm 2 \sqrt{x (- x + 16)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 20 \pm 2 \sqrt{x (- x + 16)}}{- 2}$

Paso 8.5.6.3

Simplifica $\frac{- 20 \pm 2 \sqrt{x (- x + 16)}}{- 2}$ .

$y = 10 \pm \sqrt{x (- x + 16)}$

Paso 8.5.6.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = 10 - \sqrt{x (- x + 16)}$

Paso 8.5.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = 10 + \sqrt{x (- x + 16)}$

$y = 10 - \sqrt{x (- x + 16)}$

$y = 10 + \sqrt{x (- x + 16)}$

$y = 10 - \sqrt{x (- x + 16)}$

$y = 10 + \sqrt{x (- x + 16)}$

$y = 10 - \sqrt{x (- x + 16)}$

Paso 9

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 10 + \sqrt{x (- x + 16)}, 10 - \sqrt{x (- x + 16)}$

Paso 10

Verifica si $f^{- 1} (x) = 10 + \sqrt{x (- x + 16)}, 10 - \sqrt{x (- x + 16)}$ es la inversa de $f (x) = 8 + \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}, 8 - \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}$ .

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Paso 10.1

El dominio de la inversa es el rango de la función original y viceversa. Obtén el dominio y el rango de $f (x) = 8 + \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}, 8 - \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}$ y $f^{- 1} (x) = 10 + \sqrt{x (- x + 16)}, 10 - \sqrt{x (- x + 16)}$ y compáralos.

Paso 10.2

Obtén el rango de $8 + \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}$ .

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Paso 10.2.1

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[8, 8]$

Paso 10.3

Obtén el dominio de $10 + \sqrt{x (- x + 16)}$ .

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Paso 10.3.1

Establece el radicando en $\sqrt{x (- x + 16)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x (- x + 16) \geq 0$

Paso 10.3.2

Resuelve $x$

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Paso 10.3.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$- x + 16 = 0$

Paso 10.3.2.2

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 10.3.2.3

Establece $- x + 16$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 10.3.2.3.1

Establece $- x + 16$ igual a $0$ .

$- x + 16 = 0$

Paso 10.3.2.3.2

Resuelve $- x + 16 = 0$ en $x$ .

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Paso 10.3.2.3.2.1

Resta $16$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 16$

Paso 10.3.2.3.2.2

Divide cada término en $- x = - 16$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 10.3.2.3.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 16$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 16}{- 1}$

Paso 10.3.2.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.3.2.3.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 16}{- 1}$

Paso 10.3.2.3.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 16}{- 1}$

Paso 10.3.2.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.3.2.3.2.2.3.1

Divide $- 16$ por $- 1$ .

$x = 16$

Paso 10.3.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (- x + 16) \geq 0$ verdadera.

$x = 0, 16$

Paso 10.3.2.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < 16$

$x > 16$

Paso 10.3.2.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 10.3.2.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.3.2.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 10.3.2.6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$(- 2) (- (- 2) + 16) \geq 0$

Paso 10.3.2.6.1.3

$- 36$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 10.3.2.6.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 16$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.3.2.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 16$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 10.3.2.6.2.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$(2) (- (2) + 16) \geq 0$

Paso 10.3.2.6.2.3

$28$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 10.3.2.6.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 16$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.3.2.6.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 16$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 18$

Paso 10.3.2.6.3.2

Reemplaza $x$ con $18$ en la desigualdad original.

$(18) (- (18) + 16) \geq 0$

Paso 10.3.2.6.3.3

$- 36$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 10.3.2.6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 16$ Verdadero

$x > 16$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 16$ Verdadero

$x > 16$ Falso

Paso 10.3.2.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$0 \leq x \leq 16$

Paso 10.3.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[0, 16]$

Paso 10.4

Como el dominio de $f^{- 1} (x) = 10 + \sqrt{x (- x + 16)}, 10 - \sqrt{x (- x + 16)}$ no es igual al rango de $f (x) = 8 + \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}, 8 - \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}$ , entonces $f^{- 1} (x) = 10 + \sqrt{x (- x + 16)}, 10 - \sqrt{x (- x + 16)}$ no es una inversa de $f (x) = 8 + \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}, 8 - \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}$ .

No hay una inversa

Paso 11