Trigonometría Ejemplos

$\frac{x}{8 x - 9}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = \frac{y}{8 y - 9}$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Multiplica la ecuación por $8 y - 9$ .

$(8 y - 9) (x) = (\frac{y}{8 y - 9}) (8 y - 9)$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$8 y x - 9 x = (\frac{y}{8 y - 9}) (8 y - 9)$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Cancela el factor común de $8 y - 9$ .

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Paso 2.3.1.1

Cancela el factor común.

$8 y x - 9 x = \frac{y}{8 y - 9} (8 y - 9)$

Paso 2.3.1.2

Reescribe la expresión.

$8 y x - 9 x = y$

Paso 2.4

Resuelve $y$

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Paso 2.4.1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$8 y x - 9 x - y = 0$

Paso 2.4.2

Suma $9 x$ a ambos lados de la ecuación.

$8 y x - y = 9 x$

Paso 2.4.3

Factoriza $y$ de $8 y x - y$ .

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Paso 2.4.3.1

Factoriza $y$ de $8 y x$ .

$y (8 x) - y = 9 x$

Paso 2.4.3.2

Factoriza $y$ de $- y$ .

$y (8 x) + y \cdot - 1 = 9 x$

Paso 2.4.3.3

Factoriza $y$ de $y (8 x) + y \cdot - 1$ .

$y (8 x - 1) = 9 x$

Paso 2.4.4

Divide cada término en $y (8 x - 1) = 9 x$ por $8 x - 1$ y simplifica.

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Paso 2.4.4.1

Divide cada término en $y (8 x - 1) = 9 x$ por $8 x - 1$ .

$\frac{y (8 x - 1)}{8 x - 1} = \frac{9 x}{8 x - 1}$

Paso 2.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.4.2.1

Cancela el factor común de $8 x - 1$ .

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Paso 2.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (8 x - 1)}{8 x - 1} = \frac{9 x}{8 x - 1}$

Paso 2.4.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{9 x}{8 x - 1}$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{9 x}{8 x - 1}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{9 x}{8 x - 1}$ es la inversa de $f (x) = \frac{x}{8 x - 9}$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{9 (\frac{x}{8 x - 9})}{8 (\frac{x}{8 x - 9}) - 1}$

Paso 4.2.3

Combina $9$ y $\frac{x}{8 x - 9}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{\frac{9 x}{8 x - 9}}{8 (\frac{x}{8 x - 9}) - 1}$

Paso 4.2.4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.4.1

Combina $8$ y $\frac{x}{8 x - 9}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{\frac{9 x}{8 x - 9}}{\frac{8 x}{8 x - 9} - 1}$

Paso 4.2.4.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8 x - 9}{8 x - 9}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{\frac{9 x}{8 x - 9}}{\frac{8 x}{8 x - 9} - 1 \cdot \frac{8 x - 9}{8 x - 9}}$

Paso 4.2.4.3

Combina $- 1$ y $\frac{8 x - 9}{8 x - 9}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{\frac{9 x}{8 x - 9}}{\frac{8 x}{8 x - 9} + \frac{- (8 x - 9)}{8 x - 9}}$

Paso 4.2.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{\frac{9 x}{8 x - 9}}{\frac{8 x - (8 x - 9)}{8 x - 9}}$

Paso 4.2.4.5

Reescribe $\frac{8 x - (8 x - 9)}{8 x - 9}$ en forma factorizada.

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Paso 4.2.4.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{\frac{9 x}{8 x - 9}}{\frac{8 x - (8 x) + 9}{8 x - 9}}$

Paso 4.2.4.5.2

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{\frac{9 x}{8 x - 9}}{\frac{8 x - 8 x + 9}{8 x - 9}}$

Paso 4.2.4.5.3

Multiplica $- 1$ por $- 9$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{\frac{9 x}{8 x - 9}}{\frac{8 x - 8 x + 9}{8 x - 9}}$

Paso 4.2.4.5.4

Resta $8 x$ de $8 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{\frac{9 x}{8 x - 9}}{\frac{0 + 9}{8 x - 9}}$

Paso 4.2.4.5.5

Suma $0$ y $9$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{\frac{9 x}{8 x - 9}}{\frac{9}{8 x - 9}}$

Paso 4.2.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{9 x}{8 x - 9} \cdot \frac{8 x - 9}{9}$

Paso 4.2.6

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 4.2.6.1

Factoriza $9$ de $9 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{9 (x)}{8 x - 9} \cdot \frac{8 x - 9}{9}$

Paso 4.2.6.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{9 x}{8 x - 9} \cdot \frac{8 x - 9}{9}$

Paso 4.2.6.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{x}{8 x - 9} \cdot (8 x - 9)$

Paso 4.2.7

Cancela el factor común de $8 x - 9$ .

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Paso 4.2.7.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{x}{8 x - 9} \cdot (8 x - 9)$

Paso 4.2.7.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\frac{9 x}{8 x - 1})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{\frac{9 x}{8 x - 1}}{8 (\frac{9 x}{8 x - 1}) - 9}$

Paso 4.3.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{8 (\frac{9 x}{8 x - 1}) - 9}$

Paso 4.3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.3.4.1

Multiplica $8 \frac{9 x}{8 x - 1}$ .

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Paso 4.3.4.1.1

Combina $8$ y $\frac{9 x}{8 x - 1}$ .

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{8 (9 x)}{8 x - 1} - 9}$

Paso 4.3.4.1.2

Multiplica $9$ por $8$ .

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{72 x}{8 x - 1} - 9}$

Paso 4.3.4.2

Para escribir $- 9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8 x - 1}{8 x - 1}$ .

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{72 x}{8 x - 1} - 9 \cdot \frac{8 x - 1}{8 x - 1}}$

Paso 4.3.4.3

Combina $- 9$ y $\frac{8 x - 1}{8 x - 1}$ .

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{72 x}{8 x - 1} + \frac{- 9 (8 x - 1)}{8 x - 1}}$

Paso 4.3.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{72 x - 9 (8 x - 1)}{8 x - 1}}$

Paso 4.3.4.5

Reescribe $\frac{72 x - 9 (8 x - 1)}{8 x - 1}$ en forma factorizada.

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Paso 4.3.4.5.1

Factoriza $9$ de $72 x - 9 (8 x - 1)$ .

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Paso 4.3.4.5.1.1

Factoriza $9$ de $72 x$ .

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{9 (8 x) - 9 (8 x - 1)}{8 x - 1}}$

Paso 4.3.4.5.1.2

Factoriza $9$ de $- 9 (8 x - 1)$ .

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{9 (8 x) + 9 (- (8 x - 1))}{8 x - 1}}$

Paso 4.3.4.5.1.3

Factoriza $9$ de $9 (8 x) + 9 (- (8 x - 1))$ .

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{9 (8 x - (8 x - 1))}{8 x - 1}}$

Paso 4.3.4.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{9 (8 x - (8 x) + 1)}{8 x - 1}}$

Paso 4.3.4.5.3

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{9 (8 x - 8 x + 1)}{8 x - 1}}$

Paso 4.3.4.5.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{9 (8 x - 8 x + 1)}{8 x - 1}}$

Paso 4.3.4.5.5

Resta $8 x$ de $8 x$ .

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{9 (0 + 1)}{8 x - 1}}$

Paso 4.3.4.5.6

Suma $0$ y $1$ .

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{9 \cdot 1}{8 x - 1}}$

Paso 4.3.4.6

Multiplica $9$ por $1$ .

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{9}{8 x - 1}}$

Paso 4.3.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot (1 (\frac{8 x - 1}{9}))$

Paso 4.3.6

Multiplica $\frac{8 x - 1}{9}$ por $1$ .

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{8 x - 1}{9}$

Paso 4.3.7

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 4.3.7.1

Factoriza $9$ de $9 x$ .

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 (x)}{8 x - 1} \cdot \frac{8 x - 1}{9}$

Paso 4.3.7.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{8 x - 1}{9}$

Paso 4.3.7.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{x}{8 x - 1} \cdot (8 x - 1)$

Paso 4.3.8

Cancela el factor común de $8 x - 1$ .

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Paso 4.3.8.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{x}{8 x - 1} \cdot (8 x - 1)$

Paso 4.3.8.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{9 x}{8 x - 1}$ es la inversa de $f (x) = \frac{x}{8 x - 9}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{9 x}{8 x - 1}$