Trigonometría Ejemplos

$\frac{x}{8 - 9 x}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = \frac{y}{8 - 9 y}$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $\frac{y}{8 - 9 y} = x$ .

$\frac{y}{8 - 9 y} = x$

Paso 2.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$8 - 9 y, 1$

Paso 2.2.2

Elimina los paréntesis.

$8 - 9 y, 1$

Paso 2.2.3

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$8 - 9 y$

Paso 2.3

Multiplica cada término en $\frac{y}{8 - 9 y} = x$ por $8 - 9 y$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.3.1

Multiplica cada término en $\frac{y}{8 - 9 y} = x$ por $8 - 9 y$ .

$\frac{y}{8 - 9 y} (8 - 9 y) = x (8 - 9 y)$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $8 - 9 y$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{8 - 9 y} (8 - 9 y) = x (8 - 9 y)$

Paso 2.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$y = x (8 - 9 y)$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = x \cdot 8 + x (- 9 y)$

Paso 2.3.3.2

Reordena.

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Paso 2.3.3.2.1

Mueve $8$ a la izquierda de $x$ .

$y = 8 \cdot x + x (- 9 y)$

Paso 2.3.3.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = 8 x - 9 x y$

Paso 2.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.4.1

Suma $9 x y$ a ambos lados de la ecuación.

$y + 9 x y = 8 x$

Paso 2.4.2

Factoriza $y$ de $y + 9 x y$ .

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Paso 2.4.2.1

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$y \cdot 1 + 9 x y = 8 x$

Paso 2.4.2.2

Factoriza $y$ de $9 x y$ .

$y \cdot 1 + y (9 x) = 8 x$

Paso 2.4.2.3

Factoriza $y$ de $y \cdot 1 + y (9 x)$ .

$y (1 + 9 x) = 8 x$

Paso 2.4.3

Divide cada término en $y (1 + 9 x) = 8 x$ por $1 + 9 x$ y simplifica.

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Paso 2.4.3.1

Divide cada término en $y (1 + 9 x) = 8 x$ por $1 + 9 x$ .

$\frac{y (1 + 9 x)}{1 + 9 x} = \frac{8 x}{1 + 9 x}$

Paso 2.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.3.2.1

Cancela el factor común de $1 + 9 x$ .

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Paso 2.4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (1 + 9 x)}{1 + 9 x} = \frac{8 x}{1 + 9 x}$

Paso 2.4.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{8 x}{1 + 9 x}$

Paso 3

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{8 x}{1 + 9 x}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{8 x}{1 + 9 x}$ es la inversa de $f (x) = \frac{x}{8 - 9 x}$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x}) = \frac{8 (\frac{x}{8 - 9 x})}{1 + 9 (\frac{x}{8 - 9 x})}$

Paso 4.2.3

Combina $8$ y $\frac{x}{8 - 9 x}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x}) = \frac{\frac{8 x}{8 - 9 x}}{1 + 9 (\frac{x}{8 - 9 x})}$

Paso 4.2.4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.4.1

Combina $9$ y $\frac{x}{8 - 9 x}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x}) = \frac{\frac{8 x}{8 - 9 x}}{1 + \frac{9 x}{8 - 9 x}}$

Paso 4.2.4.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x}) = \frac{\frac{8 x}{8 - 9 x}}{\frac{8 - 9 x}{8 - 9 x} + \frac{9 x}{8 - 9 x}}$

Paso 4.2.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x}) = \frac{\frac{8 x}{8 - 9 x}}{\frac{8 - 9 x + 9 x}{8 - 9 x}}$

Paso 4.2.4.4

Reescribe $\frac{8 - 9 x + 9 x}{8 - 9 x}$ en forma factorizada.

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Paso 4.2.4.4.1

Suma $- 9 x$ y $9 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x}) = \frac{\frac{8 x}{8 - 9 x}}{\frac{8 + 0}{8 - 9 x}}$

Paso 4.2.4.4.2

Suma $8$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x}) = \frac{\frac{8 x}{8 - 9 x}}{\frac{8}{8 - 9 x}}$

Paso 4.2.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x}) = \frac{8 x}{8 - 9 x} \cdot \frac{8 - 9 x}{8}$

Paso 4.2.6

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 4.2.6.1

Factoriza $8$ de $8 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x}) = \frac{8 (x)}{8 - 9 x} \cdot \frac{8 - 9 x}{8}$

Paso 4.2.6.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x}) = \frac{8 x}{8 - 9 x} \cdot \frac{8 - 9 x}{8}$

Paso 4.2.6.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x}) = \frac{x}{8 - 9 x} \cdot (8 - 9 x)$

Paso 4.2.7

Cancela el factor común de $8 - 9 x$ .

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Paso 4.2.7.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x}) = \frac{x}{8 - 9 x} \cdot (8 - 9 x)$

Paso 4.2.7.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x}) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\frac{8 x}{1 + 9 x})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{\frac{8 x}{1 + 9 x}}{8 - 9 \frac{8 x}{1 + 9 x}}$

Paso 4.3.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot \frac{1}{8 - 9 \frac{8 x}{1 + 9 x}}$

Paso 4.3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.3.4.1

Multiplica $- 9 \frac{8 x}{1 + 9 x}$ .

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Paso 4.3.4.1.1

Combina $- 9$ y $\frac{8 x}{1 + 9 x}$ .

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot \frac{1}{8 + \frac{- 9 (8 x)}{1 + 9 x}}$

Paso 4.3.4.1.2

Multiplica $8$ por $- 9$ .

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot \frac{1}{8 + \frac{- 72 x}{1 + 9 x}}$

Paso 4.3.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot \frac{1}{8 - \frac{72 x}{1 + 9 x}}$

Paso 4.3.4.3

Para escribir $8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 + 9 x}{1 + 9 x}$ .

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot \frac{1}{\frac{8 (1 + 9 x)}{1 + 9 x} - \frac{72 x}{1 + 9 x}}$

Paso 4.3.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot \frac{1}{\frac{8 (1 + 9 x) - 72 x}{1 + 9 x}}$

Paso 4.3.4.5

Reescribe $\frac{8 (1 + 9 x) - 72 x}{1 + 9 x}$ en forma factorizada.

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Paso 4.3.4.5.1

Factoriza $8$ de $8 (1 + 9 x) - 72 x$ .

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Paso 4.3.4.5.1.1

Factoriza $8$ de $- 72 x$ .

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot \frac{1}{\frac{8 (1 + 9 x) + 8 (- 9 x)}{1 + 9 x}}$

Paso 4.3.4.5.1.2

Factoriza $8$ de $8 (1 + 9 x) + 8 (- 9 x)$ .

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot \frac{1}{\frac{8 (1 + 9 x - 9 x)}{1 + 9 x}}$

Paso 4.3.4.5.2

Resta $9 x$ de $9 x$ .

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot \frac{1}{\frac{8 (1 + 0)}{1 + 9 x}}$

Paso 4.3.4.5.3

Suma $1$ y $0$ .

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot \frac{1}{\frac{8 \cdot 1}{1 + 9 x}}$

Paso 4.3.4.6

Multiplica $8$ por $1$ .

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot \frac{1}{\frac{8}{1 + 9 x}}$

Paso 4.3.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot (1 (\frac{1 + 9 x}{8}))$

Paso 4.3.6

Multiplica $\frac{1 + 9 x}{8}$ por $1$ .

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot \frac{1 + 9 x}{8}$

Paso 4.3.7

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 4.3.7.1

Factoriza $8$ de $8 x$ .

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 (x)}{1 + 9 x} \cdot \frac{1 + 9 x}{8}$

Paso 4.3.7.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot \frac{1 + 9 x}{8}$

Paso 4.3.7.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{x}{1 + 9 x} \cdot (1 + 9 x)$

Paso 4.3.8

Cancela el factor común de $1 + 9 x$ .

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Paso 4.3.8.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{x}{1 + 9 x} \cdot (1 + 9 x)$

Paso 4.3.8.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{8 x}{1 + 9 x}$ es la inversa de $f (x) = \frac{x}{8 - 9 x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{8 x}{1 + 9 x}$