Trigonometría Ejemplos

$\sqrt[3]{1 + \tan (x)}$

Step 1

Intercambia las variables.

$x = \sqrt[3]{1 + \tan (y)}$

Step 2

Resuelve $y$

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Reescribe la ecuación como $\sqrt[3]{1 + \tan (y)} = x$ .

$\sqrt[3]{1 + \tan (y)} = x$

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{1 + \tan (y)}}^{3} = x^{3}$

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{1 + \tan (y)}$ como ${(1 + \tan (y))}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(1 + \tan (y))}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Simplifica ${({(1 + \tan (y))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Multiplica los exponentes en ${({(1 + \tan (y))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + \tan (y))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Cancela el factor común de $3$ .

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Cancela el factor común.

${(1 + \tan (y))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Reescribe la expresión.

${(1 + \tan (y))}^{1} = x^{3}$

Simplifica.

$1 + \tan (y) = x^{3}$

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\tan (y) = x^{3} - 1$

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de la tangente.

$y = \arctan (x^{3} - 1)$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \arctan (x^{3} - 1)$

Step 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \arctan (x^{3} - 1)$ es la inversa de $f (x) = \sqrt[3]{1 + \tan (x)}$ .

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Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Evalúa $f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan ({(\sqrt[3]{1 + \tan (x)})}^{3} - 1)$

Reescribe ${\sqrt[3]{1 + \tan (x)}}^{3}$ como $1 + \tan (x)$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{1 + \tan (x)}$ como ${(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan ({({(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{3}})}^{3} - 1)$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan ({(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 1)$

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan ({(1 + \tan (x))}^{\frac{3}{3}} - 1)$

Cancela el factor común de $3$ .

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Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan ({(1 + \tan (x))}^{\frac{3}{3}} - 1)$

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan ((1 + \tan (x)) - 1)$

Simplifica.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan (1 + \tan (x) - 1)$

Combina los términos opuestos en $1 + \tan (x) - 1$ .

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Resta $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan (0 + \tan (x))$

Suma $0$ y $\tan (x)$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan (\tan (x))$

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Evalúa $f (\arctan (x^{3} - 1))$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\arctan (x^{3} - 1)) = \sqrt[3]{1 + \tan (\arctan (x^{3} - 1))}$

Las funciones tangente y arcotangente son inversas.

$f (\arctan (x^{3} - 1)) = \sqrt[3]{1 + x^{3} - 1}$

Resta $1$ de $1$ .

$f (\arctan (x^{3} - 1)) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

Suma $x^{3}$ y $0$ .

$f (\arctan (x^{3} - 1)) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f (\arctan (x^{3} - 1)) = x$

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \arctan (x^{3} - 1)$ es la inversa de $f (x) = \sqrt[3]{1 + \tan (x)}$ .

$f^{- 1} (x) = \arctan (x^{3} - 1)$