Trigonometría Ejemplos

$- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = - 2 \cos (3 y - \frac{π}{4})$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $- 2 \cos (3 y - \frac{π}{4}) = x$ .

$- 2 \cos (3 y - \frac{π}{4}) = x$

Paso 2.2

Divide cada término en $- 2 \cos (3 y - \frac{π}{4}) = x$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 2.2.1

Divide cada término en $- 2 \cos (3 y - \frac{π}{4}) = x$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (3 y - \frac{π}{4})}{- 2} = \frac{x}{- 2}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 \cos (3 y - \frac{π}{4})}{- 2} = \frac{x}{- 2}$

Paso 2.2.2.1.2

Divide $\cos (3 y - \frac{π}{4})$ por $1$ .

$\cos (3 y - \frac{π}{4}) = \frac{x}{- 2}$

Paso 2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\cos (3 y - \frac{π}{4}) = - \frac{x}{2}$

Paso 2.3

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior del coseno.

$3 y - \frac{π}{4} = \arccos (- \frac{x}{2})$

Paso 2.4

Suma $\frac{π}{4}$ a ambos lados de la ecuación.

$3 y = \arccos (- \frac{x}{2}) + \frac{π}{4}$

Paso 2.5

Divide cada término en $3 y = \arccos (- \frac{x}{2}) + \frac{π}{4}$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.5.1

Divide cada término en $3 y = \arccos (- \frac{x}{2}) + \frac{π}{4}$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Paso 2.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Paso 2.5.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Paso 2.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.3.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 2.5.3.1.2

Multiplica $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 2.5.3.1.2.1

Multiplica $\frac{π}{4}$ por $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{4 \cdot 3}$

Paso 2.5.3.1.2.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}$ es la inversa de $f (x) = - 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4}))$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (- \frac{- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})}{2})}{3} + \frac{π}{12}$

Paso 4.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.3.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 4.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})$ .

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (- \frac{2 (- \cos (3 x - \frac{π}{4}))}{2})}{3} + \frac{π}{12}$

Paso 4.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (- \frac{2 (- \cos (3 x - \frac{π}{4}))}{2 (1)})}{3} + \frac{π}{12}$

Paso 4.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (- \frac{2 (- \cos (3 x - \frac{π}{4}))}{2 \cdot 1})}{3} + \frac{π}{12}$

Paso 4.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (- \frac{- \cos (3 x - \frac{π}{4})}{1})}{3} + \frac{π}{12}$

Paso 4.2.3.1.2.4

Divide $- \cos (3 x - \frac{π}{4})$ por $1$ .

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (\cos (3 x - \frac{π}{4}))}{3} + \frac{π}{12}$

Paso 4.2.3.2

Multiplica $- - \cos (3 x - \frac{π}{4})$ .

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Paso 4.2.3.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (1 \cos (3 x - \frac{π}{4}))}{3} + \frac{π}{12}$

Paso 4.2.3.2.2

Multiplica $\cos (3 x - \frac{π}{4})$ por $1$ .

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (\cos (3 x - \frac{π}{4}))}{3} + \frac{π}{12}$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (3 (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) - \frac{π}{4})$

Paso 4.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (3 (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}) + 3 (\frac{π}{12}) - \frac{π}{4})$

Paso 4.3.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.3.3.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (3 (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}) + 3 (\frac{π}{12}) - \frac{π}{4})$

Paso 4.3.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}) + 3 (\frac{π}{12}) - \frac{π}{4})$

Paso 4.3.3.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.3.3.3.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}) + 3 (\frac{π}{3 (4)}) - \frac{π}{4})$

Paso 4.3.3.3.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}) + 3 (\frac{π}{3 \cdot 4}) - \frac{π}{4})$

Paso 4.3.3.3.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}) + \frac{π}{4} - \frac{π}{4})$

Paso 4.3.4

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 4.3.4.1

Combina los términos opuestos en $\arccos (- \frac{x}{2}) + \frac{π}{4} - \frac{π}{4}$ .

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Paso 4.3.4.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}) + \frac{π - π}{4})$

Paso 4.3.4.1.2

Resta $π$ de $π$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}) + \frac{0}{4})$

Paso 4.3.4.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.4.2.1

Divide $0$ por $4$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}) + 0)$

Paso 4.3.4.2.2

Suma $\arccos (- \frac{x}{2})$ y $0$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}))$

Paso 4.3.5

Las funciones coseno y arcocoseno son inversas.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 (- \frac{x}{2})$

Paso 4.3.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.6.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x}{2}$ al numerador.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \frac{- x}{2}$

Paso 4.3.6.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = 2 (- 1) (\frac{- x}{2})$

Paso 4.3.6.3

Cancela el factor común.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = 2 \cdot (- 1 \frac{- x}{2})$

Paso 4.3.6.4

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 1 (- x)$

Paso 4.3.7

Multiplica.

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Paso 4.3.7.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = 1 x$

Paso 4.3.7.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}$ es la inversa de $f (x) = - 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}$