Trigonometría Ejemplos

$5 \cos (5 x) + 2$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = 5 \cos (5 y) + 2$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $5 \cos (5 y) + 2 = x$ .

$5 \cos (5 y) + 2 = x$

Paso 2.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$5 \cos (5 y) = x - 2$

Paso 2.3

Divide cada término en $5 \cos (5 y) = x - 2$ por $5$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $5 \cos (5 y) = x - 2$ por $5$ .

$\frac{5 \cos (5 y)}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 2}{5}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 \cos (5 y)}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 2}{5}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $\cos (5 y)$ por $1$ .

$\cos (5 y) = \frac{x}{5} + \frac{- 2}{5}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\cos (5 y) = \frac{x}{5} - \frac{2}{5}$

Paso 2.4

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior del coseno.

$5 y = \arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})$

Paso 2.5

Divide cada término en $5 y = \arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})$ por $5$ y simplifica.

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Paso 2.5.1

Divide cada término en $5 y = \arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})$ por $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{\arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}$

Paso 2.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 y}{5} = \frac{\arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}$

Paso 2.5.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}$ es la inversa de $f (x) = 5 \cos (5 x) + 2$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (5 \cos (5 x) + 2)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 \cos (5 x) + 2) = \frac{\arccos (\frac{5 \cos (5 x) + 2}{5} - \frac{2}{5})}{5}$

Paso 4.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (5 \cos (5 x) + 2) = \frac{\arccos (\frac{5 \cos (5 x) + 2 - 2}{5})}{5}$

Paso 4.2.3.2

Combina los términos opuestos en $5 \cos (5 x) + 2 - 2$ .

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Paso 4.2.3.2.1

Resta $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (5 \cos (5 x) + 2) = \frac{\arccos (\frac{5 \cos (5 x) + 0}{5})}{5}$

Paso 4.2.3.2.2

Suma $5 \cos (5 x)$ y $0$ .

$f^{- 1} (5 \cos (5 x) + 2) = \frac{\arccos (\frac{5 \cos (5 x)}{5})}{5}$

Paso 4.2.3.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 4.2.3.3.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (5 \cos (5 x) + 2) = \frac{\arccos (\frac{5 \cos (5 x)}{5})}{5}$

Paso 4.2.3.3.2

Divide $\cos (5 x)$ por $1$ .

$f^{- 1} (5 \cos (5 x) + 2) = \frac{\arccos (\cos (5 x))}{5}$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\frac{\arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}) = 5 \cos (5 (\frac{\arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5})) + 2$

Paso 4.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}) = 5 \cos (5 (\frac{\arccos (\frac{x - 2}{5})}{5})) + 2$

Paso 4.3.3.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 4.3.3.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}) = 5 \cos (5 (\frac{\arccos (\frac{x - 2}{5})}{5})) + 2$

Paso 4.3.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}) = 5 \cos (\arccos (\frac{x - 2}{5})) + 2$

Paso 4.3.3.3

Las funciones coseno y arcocoseno son inversas.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}) = 5 (\frac{x - 2}{5}) + 2$

Paso 4.3.3.4

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 4.3.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}) = 5 (\frac{x - 2}{5}) + 2$

Paso 4.3.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}) = x - 2 + 2$

Paso 4.3.4

Combina los términos opuestos en $x - 2 + 2$ .

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Paso 4.3.4.1

Suma $- 2$ y $2$ .

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}) = x + 0$

Paso 4.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}$ es la inversa de $f (x) = 5 \cos (5 x) + 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}$