Trigonometría Ejemplos

$4 x^{2} + 3 y^{2} + 8 x - 6 y - 29 = 0$

Paso 1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2

Sustituye los valores $a = 3$ , $b = - 6$ y $c = 4 x^{2} + 8 x - 29$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (4 x^{2} + 8 x - 29))}}{2 \cdot 3}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot (4 x^{2} + 8 x - 29)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.1.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot (4 x^{2} + 8 x - 29)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12 (4 x^{2}) - 12 (8 x) - 12 \cdot - 29}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.1.4

Simplifica.

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Paso 3.1.4.1

Multiplica $4$ por $- 12$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 48 x^{2} - 12 (8 x) - 12 \cdot - 29}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.1.4.2

Multiplica $8$ por $- 12$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 48 x^{2} - 96 x - 12 \cdot - 29}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.1.4.3

Multiplica $- 12$ por $- 29$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 48 x^{2} - 96 x + 348}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.1.5

Suma $36$ y $348$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{- 48 x^{2} - 96 x + 384}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.1.6

Reescribe $- 48 x^{2} - 96 x + 384$ en forma factorizada.

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Paso 3.1.6.1

Factoriza $48$ de $- 48 x^{2} - 96 x + 384$ .

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Paso 3.1.6.1.1

Factoriza $48$ de $- 48 x^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (- x^{2}) - 96 x + 384}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.1.6.1.2

Factoriza $48$ de $- 96 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (- x^{2}) + 48 (- 2 x) + 384}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.1.6.1.3

Factoriza $48$ de $384$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (- x^{2}) + 48 (- 2 x) + 48 (8)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.1.6.1.4

Factoriza $48$ de $48 (- x^{2}) + 48 (- 2 x)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (- x^{2} - 2 x) + 48 (8)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.1.6.1.5

Factoriza $48$ de $48 (- x^{2} - 2 x) + 48 (8)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (- x^{2} - 2 x + 8)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.1.6.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1.6.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 8 = - 8$ y cuya suma es $b = - 2$ .

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Paso 3.1.6.2.1.1

Factoriza $- 2$ de $- 2 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (- x^{2} - 2 x + 8)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.1.6.2.1.2

Reescribe $- 2$ como $2$ más $- 4$

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + (2 - 4) x + 8)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.1.6.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + 2 x - 4 x + 8)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.1.6.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.1.6.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 ((- x^{2} + 2 x) - 4 x + 8)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.1.6.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (x (- x + 2) + 4 (- x + 2))}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.1.6.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x + 2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 ((- x + 2) (x + 4))}}{2 \cdot 3}$

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (- x + 2) (x + 4)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.1.7

Reescribe $48 (- x + 2) (x + 4)$ como ${(2^{2})}^{2} \cdot (3 (- x + 2) (x + 4))$ .

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Paso 3.1.7.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{16 (3) (- x + 2) (x + 4)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.1.7.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (3 (- x + 2) (x + 4))}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.1.7.3

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (3 (- x + 2) (x + 4))}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.1.7.4

Agrega paréntesis.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (3 ((- x + 2) (x + 4)))}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.1.7.5

Agrega paréntesis.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (3 (- x + 2) (x + 4))}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{6 \pm 2^{2} \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.1.9

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{6 \pm 4 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$y = \frac{6 \pm 4 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{6}$

Paso 3.3

Simplifica $\frac{6 \pm 4 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{6}$ .

$y = \frac{3 \pm 2 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{3}$

Paso 4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot (4 x^{2} + 8 x - 29)}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot (4 x^{2} + 8 x - 29)}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12 (4 x^{2}) - 12 (8 x) - 12 \cdot - 29}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.1.4

Simplifica.

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Paso 4.1.4.1

Multiplica $4$ por $- 12$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 48 x^{2} - 12 (8 x) - 12 \cdot - 29}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.1.4.2

Multiplica $8$ por $- 12$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 48 x^{2} - 96 x - 12 \cdot - 29}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.1.4.3

Multiplica $- 12$ por $- 29$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 48 x^{2} - 96 x + 348}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.1.5

Suma $36$ y $348$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{- 48 x^{2} - 96 x + 384}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.1.6

Reescribe $- 48 x^{2} - 96 x + 384$ en forma factorizada.

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Paso 4.1.6.1

Factoriza $48$ de $- 48 x^{2} - 96 x + 384$ .

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Paso 4.1.6.1.1

Factoriza $48$ de $- 48 x^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (- x^{2}) - 96 x + 384}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.1.6.1.2

Factoriza $48$ de $- 96 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (- x^{2}) + 48 (- 2 x) + 384}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.1.6.1.3

Factoriza $48$ de $384$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (- x^{2}) + 48 (- 2 x) + 48 (8)}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.1.6.1.4

Factoriza $48$ de $48 (- x^{2}) + 48 (- 2 x)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (- x^{2} - 2 x) + 48 (8)}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.1.6.1.5

Factoriza $48$ de $48 (- x^{2} - 2 x) + 48 (8)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (- x^{2} - 2 x + 8)}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.1.6.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.1.6.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 8 = - 8$ y cuya suma es $b = - 2$ .

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Paso 4.1.6.2.1.1

Factoriza $- 2$ de $- 2 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (- x^{2} - 2 x + 8)}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.1.6.2.1.2

Reescribe $- 2$ como $2$ más $- 4$

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + (2 - 4) x + 8)}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.1.6.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + 2 x - 4 x + 8)}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.1.6.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.1.6.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 ((- x^{2} + 2 x) - 4 x + 8)}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.1.6.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (x (- x + 2) + 4 (- x + 2))}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.1.6.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x + 2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 ((- x + 2) (x + 4))}}{2 \cdot 3}$

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (- x + 2) (x + 4)}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.1.7

Reescribe $48 (- x + 2) (x + 4)$ como ${(2^{2})}^{2} \cdot (3 (- x + 2) (x + 4))$ .

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Paso 4.1.7.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{16 (3) (- x + 2) (x + 4)}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.1.7.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (3 (- x + 2) (x + 4))}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.1.7.3

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (3 (- x + 2) (x + 4))}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.1.7.4

Agrega paréntesis.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (3 ((- x + 2) (x + 4)))}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.1.7.5

Agrega paréntesis.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (3 (- x + 2) (x + 4))}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{6 \pm 2^{2} \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.1.9

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{6 \pm 4 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$y = \frac{6 \pm 4 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{6}$

Paso 4.3

Simplifica $\frac{6 \pm 4 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{6}$ .

$y = \frac{3 \pm 2 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{3}$

Paso 4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{3 + 2 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{3}$

Paso 5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot (4 x^{2} + 8 x - 29)}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot (4 x^{2} + 8 x - 29)}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12 (4 x^{2}) - 12 (8 x) - 12 \cdot - 29}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.1.4

Simplifica.

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Paso 5.1.4.1

Multiplica $4$ por $- 12$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 48 x^{2} - 12 (8 x) - 12 \cdot - 29}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.1.4.2

Multiplica $8$ por $- 12$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 48 x^{2} - 96 x - 12 \cdot - 29}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.1.4.3

Multiplica $- 12$ por $- 29$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 48 x^{2} - 96 x + 348}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.1.5

Suma $36$ y $348$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{- 48 x^{2} - 96 x + 384}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.1.6

Reescribe $- 48 x^{2} - 96 x + 384$ en forma factorizada.

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Paso 5.1.6.1

Factoriza $48$ de $- 48 x^{2} - 96 x + 384$ .

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Paso 5.1.6.1.1

Factoriza $48$ de $- 48 x^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (- x^{2}) - 96 x + 384}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.1.6.1.2

Factoriza $48$ de $- 96 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (- x^{2}) + 48 (- 2 x) + 384}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.1.6.1.3

Factoriza $48$ de $384$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (- x^{2}) + 48 (- 2 x) + 48 (8)}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.1.6.1.4

Factoriza $48$ de $48 (- x^{2}) + 48 (- 2 x)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (- x^{2} - 2 x) + 48 (8)}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.1.6.1.5

Factoriza $48$ de $48 (- x^{2} - 2 x) + 48 (8)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (- x^{2} - 2 x + 8)}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.1.6.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.1.6.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 8 = - 8$ y cuya suma es $b = - 2$ .

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Paso 5.1.6.2.1.1

Factoriza $- 2$ de $- 2 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (- x^{2} - 2 x + 8)}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.1.6.2.1.2

Reescribe $- 2$ como $2$ más $- 4$

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + (2 - 4) x + 8)}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.1.6.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + 2 x - 4 x + 8)}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.1.6.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.1.6.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 ((- x^{2} + 2 x) - 4 x + 8)}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.1.6.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (x (- x + 2) + 4 (- x + 2))}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.1.6.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x + 2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 ((- x + 2) (x + 4))}}{2 \cdot 3}$

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (- x + 2) (x + 4)}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.1.7

Reescribe $48 (- x + 2) (x + 4)$ como ${(2^{2})}^{2} \cdot (3 (- x + 2) (x + 4))$ .

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Paso 5.1.7.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{16 (3) (- x + 2) (x + 4)}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.1.7.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (3 (- x + 2) (x + 4))}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.1.7.3

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (3 (- x + 2) (x + 4))}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.1.7.4

Agrega paréntesis.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (3 ((- x + 2) (x + 4)))}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.1.7.5

Agrega paréntesis.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (3 (- x + 2) (x + 4))}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{6 \pm 2^{2} \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.1.9

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{6 \pm 4 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$y = \frac{6 \pm 4 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{6}$

Paso 5.3

Simplifica $\frac{6 \pm 4 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{6}$ .

$y = \frac{3 \pm 2 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{3}$

Paso 5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{3 - 2 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{3}$

Paso 6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = \frac{3 + 2 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{3}$

$y = \frac{3 - 2 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{3}$

Paso 7

Intercambia las variables. Crea una ecuación para cada expresión.

$x = \frac{3 + 2 \sqrt{3 (- y + 2) (y + 4)}}{3}, x = \frac{3 - 2 \sqrt{3 (- y + 2) (y + 4)}}{3}$

Paso 8

Resuelve $y$

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Paso 8.1

Reescribe la ecuación como $\frac{3 + 2 \sqrt{3 (- y + 2) (y + 4)}}{3} = x$ .

$\frac{3 + 2 \sqrt{3 (- y + 2) (y + 4)}}{3} = x$

Paso 8.2

Multiplica ambos lados por $3$ .

$\frac{3 + 2 \sqrt{3 (- y + 2) (y + 4)}}{3} \cdot 3 = x \cdot 3$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.3.1.1

Simplifica $\frac{3 + 2 \sqrt{3 (- y + 2) (y + 4)}}{3} \cdot 3$ .

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Paso 8.3.1.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.3.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 + 2 \sqrt{3 (- y + 2) (y + 4)}}{3} \cdot 3 = x \cdot 3$

Paso 8.3.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$3 + 2 \sqrt{3 (- y + 2) (y + 4)} = x \cdot 3$

Paso 8.3.1.1.2

Reordena $3$ y $2 \sqrt{3 (- y + 2) (y + 4)}$ .

$2 \sqrt{3 (- y + 2) (y + 4)} + 3 = x \cdot 3$

Paso 8.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.2.1

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$2 \sqrt{3 (- y + 2) (y + 4)} + 3 = 3 x$

Paso 8.4

Resuelve $y$

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Paso 8.4.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \sqrt{3 (- y + 2) (y + 4)} = 3 x - 3$

Paso 8.4.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(2 \sqrt{3 (- y + 2) (y + 4)})}^{2} = {(3 x - 3)}^{2}$

Paso 8.4.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 8.4.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 (- y + 2) (y + 4)}$ como ${(3 (- y + 2) (y + 4))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(3 (- y + 2) (y + 4))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 3)}^{2}$

Paso 8.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.4.3.2.1

Simplifica ${(2 {(3 (- y + 2) (y + 4))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 8.4.3.2.1.1

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 8.4.3.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

${(2 {((3 (- y) + 3 \cdot 2) (y + 4))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 3)}^{2}$

Paso 8.4.3.2.1.1.2

Multiplica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.3.2.1.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

${(2 {((- 3 y + 3 \cdot 2) (y + 4))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 3)}^{2}$

Paso 8.4.3.2.1.1.2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

${(2 {((- 3 y + 6) (y + 4))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 3)}^{2}$

Paso 8.4.3.2.1.2

Expande $(- 3 y + 6) (y + 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.3.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

${(2 {(- 3 y (y + 4) + 6 (y + 4))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 3)}^{2}$

Paso 8.4.3.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

${(2 {(- 3 y \cdot y - 3 y \cdot 4 + 6 (y + 4))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 3)}^{2}$

Paso 8.4.3.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

${(2 {(- 3 y \cdot y - 3 y \cdot 4 + 6 y + 6 \cdot 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 3)}^{2}$

Paso 8.4.3.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.3.2.1.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.3.2.1.3.1.1

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.3.2.1.3.1.1.1

Mueve $y$ .

${(2 {(- 3 (y \cdot y) - 3 y \cdot 4 + 6 y + 6 \cdot 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 3)}^{2}$

Paso 8.4.3.2.1.3.1.1.2

Multiplica $y$ por $y$ .

${(2 {(- 3 y^{2} - 3 y \cdot 4 + 6 y + 6 \cdot 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 3)}^{2}$

Paso 8.4.3.2.1.3.1.2

Multiplica $4$ por $- 3$ .

${(2 {(- 3 y^{2} - 12 y + 6 y + 6 \cdot 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 3)}^{2}$

Paso 8.4.3.2.1.3.1.3

Multiplica $6$ por $4$ .

${(2 {(- 3 y^{2} - 12 y + 6 y + 24)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 3)}^{2}$

Paso 8.4.3.2.1.3.2

Suma $- 12 y$ y $6 y$ .

${(2 {(- 3 y^{2} - 6 y + 24)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 3)}^{2}$

Paso 8.4.3.2.1.4

Aplica la regla del producto a $2 {(- 3 y^{2} - 6 y + 24)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(- 3 y^{2} - 6 y + 24)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 3)}^{2}$

Paso 8.4.3.2.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 {({(- 3 y^{2} - 6 y + 24)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 3)}^{2}$

Paso 8.4.3.2.1.6

Multiplica los exponentes en ${({(- 3 y^{2} - 6 y + 24)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.3.2.1.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(- 3 y^{2} - 6 y + 24)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 3)}^{2}$

Paso 8.4.3.2.1.6.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.3.2.1.6.2.1

Cancela el factor común.

$4 {(- 3 y^{2} - 6 y + 24)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 3)}^{2}$

Paso 8.4.3.2.1.6.2.2

Reescribe la expresión.

$4 {(- 3 y^{2} - 6 y + 24)}^{1} = {(3 x - 3)}^{2}$

Paso 8.4.3.2.1.7

Simplifica.

$4 (- 3 y^{2} - 6 y + 24) = {(3 x - 3)}^{2}$

Paso 8.4.3.2.1.8

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (- 3 y^{2}) + 4 (- 6 y) + 4 \cdot 24 = {(3 x - 3)}^{2}$

Paso 8.4.3.2.1.9

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.3.2.1.9.1

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$- 12 y^{2} + 4 (- 6 y) + 4 \cdot 24 = {(3 x - 3)}^{2}$

Paso 8.4.3.2.1.9.2

Multiplica $- 6$ por $4$ .

$- 12 y^{2} - 24 y + 4 \cdot 24 = {(3 x - 3)}^{2}$

Paso 8.4.3.2.1.9.3

Multiplica $4$ por $24$ .

$- 12 y^{2} - 24 y + 96 = {(3 x - 3)}^{2}$

Paso 8.4.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.3.3.1

Simplifica ${(3 x - 3)}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.3.3.1.1

Reescribe ${(3 x - 3)}^{2}$ como $(3 x - 3) (3 x - 3)$ .

$- 12 y^{2} - 24 y + 96 = (3 x - 3) (3 x - 3)$

Paso 8.4.3.3.1.2

Expande $(3 x - 3) (3 x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.3.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 12 y^{2} - 24 y + 96 = 3 x (3 x - 3) - 3 (3 x - 3)$

Paso 8.4.3.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 12 y^{2} - 24 y + 96 = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x - 3)$

Paso 8.4.3.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 12 y^{2} - 24 y + 96 = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3$

Paso 8.4.3.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.3.3.1.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.3.3.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 12 y^{2} - 24 y + 96 = 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3$

Paso 8.4.3.3.1.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.3.3.1.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$- 12 y^{2} - 24 y + 96 = 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3$

Paso 8.4.3.3.1.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$- 12 y^{2} - 24 y + 96 = 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3$

Paso 8.4.3.3.1.3.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$- 12 y^{2} - 24 y + 96 = 9 x^{2} + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3$

Paso 8.4.3.3.1.3.1.4

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$- 12 y^{2} - 24 y + 96 = 9 x^{2} - 9 x - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3$

Paso 8.4.3.3.1.3.1.5

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$- 12 y^{2} - 24 y + 96 = 9 x^{2} - 9 x - 9 x - 3 \cdot - 3$

Paso 8.4.3.3.1.3.1.6

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$- 12 y^{2} - 24 y + 96 = 9 x^{2} - 9 x - 9 x + 9$

Paso 8.4.3.3.1.3.2

Resta $9 x$ de $- 9 x$ .

$- 12 y^{2} - 24 y + 96 = 9 x^{2} - 18 x + 9$

Paso 8.4.4

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.4.1

Mueve todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.4.1.1

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.4.1.1.1

Resta $9 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 12 y^{2} - 24 y + 96 - 9 x^{2} = - 18 x + 9$

Paso 8.4.4.1.1.2

Suma $18 x$ a ambos lados de la ecuación.

$- 12 y^{2} - 24 y + 96 - 9 x^{2} + 18 x = 9$

Paso 8.4.4.1.1.3

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$- 12 y^{2} - 24 y + 96 - 9 x^{2} + 18 x - 9 = 0$

Paso 8.4.4.1.2

Resta $9$ de $96$ .

$- 12 y^{2} - 24 y - 9 x^{2} + 18 x + 87 = 0$

Paso 8.4.4.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 8.4.4.3

Sustituye los valores $a = - 12$ , $b = - 24$ y $c = - 9 x^{2} + 18 x + 87$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{24 \pm \sqrt{{(- 24)}^{2} - 4 \cdot (- 12 \cdot (- 9 x^{2} + 18 x + 87))}}{2 \cdot - 12}$

Paso 8.4.4.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.4.4.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.4.4.1.1

Eleva $- 24$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot - 12 \cdot (- 9 x^{2} + 18 x + 87)}}{2 \cdot - 12}$

Paso 8.4.4.4.1.2

Multiplica $- 4$ por $- 12$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 48 \cdot (- 9 x^{2} + 18 x + 87)}}{2 \cdot - 12}$

Paso 8.4.4.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 48 (- 9 x^{2}) + 48 (18 x) + 48 \cdot 87}}{2 \cdot - 12}$

Paso 8.4.4.4.1.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.4.4.1.4.1

Multiplica $- 9$ por $48$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 432 x^{2} + 48 (18 x) + 48 \cdot 87}}{2 \cdot - 12}$

Paso 8.4.4.4.1.4.2

Multiplica $18$ por $48$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 432 x^{2} + 864 x + 48 \cdot 87}}{2 \cdot - 12}$

Paso 8.4.4.4.1.4.3

Multiplica $48$ por $87$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 432 x^{2} + 864 x + 4176}}{2 \cdot - 12}$

Paso 8.4.4.4.1.5

Suma $576$ y $4176$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{- 432 x^{2} + 864 x + 4752}}{2 \cdot - 12}$

Paso 8.4.4.4.1.6

Factoriza $432$ de $- 432 x^{2} + 864 x + 4752$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.4.4.1.6.1

Factoriza $432$ de $- 432 x^{2}$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{432 (- x^{2}) + 864 x + 4752}}{2 \cdot - 12}$

Paso 8.4.4.4.1.6.2

Factoriza $432$ de $864 x$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{432 (- x^{2}) + 432 (2 x) + 4752}}{2 \cdot - 12}$

Paso 8.4.4.4.1.6.3

Factoriza $432$ de $4752$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{432 (- x^{2}) + 432 (2 x) + 432 (11)}}{2 \cdot - 12}$

Paso 8.4.4.4.1.6.4

Factoriza $432$ de $432 (- x^{2}) + 432 (2 x)$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{432 (- x^{2} + 2 x) + 432 (11)}}{2 \cdot - 12}$

Paso 8.4.4.4.1.6.5

Factoriza $432$ de $432 (- x^{2} + 2 x) + 432 (11)$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{432 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2 \cdot - 12}$

Paso 8.4.4.4.1.7

Reescribe $432 (- x^{2} + 2 x + 11)$ como $12^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 2 x + 11))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.4.4.1.7.1

Factoriza $144$ de $432$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{144 (3) (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2 \cdot - 12}$

Paso 8.4.4.4.1.7.2

Reescribe $144$ como $12^{2}$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{12^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 2 x + 11))}}{2 \cdot - 12}$

Paso 8.4.4.4.1.7.3

Agrega paréntesis.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{12^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 2 x + 11))}}{2 \cdot - 12}$

Paso 8.4.4.4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{24 \pm 12 \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2 \cdot - 12}$

Paso 8.4.4.4.2

Multiplica $2$ por $- 12$ .

$y = \frac{24 \pm 12 \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{- 24}$

Paso 8.4.4.4.3

Simplifica $\frac{24 \pm 12 \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{- 24}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{- 2}$

Paso 8.4.4.4.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{2 \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}$

Paso 8.4.4.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.4.5.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.4.5.1.1

Eleva $- 24$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot - 12 \cdot (- 9 x^{2} + 18 x + 87)}}{2 \cdot - 12}$

Paso 8.4.4.5.1.2

Multiplica $- 4$ por $- 12$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 48 \cdot (- 9 x^{2} + 18 x + 87)}}{2 \cdot - 12}$

Paso 8.4.4.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 48 (- 9 x^{2}) + 48 (18 x) + 48 \cdot 87}}{2 \cdot - 12}$

Paso 8.4.4.5.1.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.4.5.1.4.1

Multiplica $- 9$ por $48$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 432 x^{2} + 48 (18 x) + 48 \cdot 87}}{2 \cdot - 12}$

Paso 8.4.4.5.1.4.2

Multiplica $18$ por $48$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 432 x^{2} + 864 x + 48 \cdot 87}}{2 \cdot - 12}$

Paso 8.4.4.5.1.4.3

Multiplica $48$ por $87$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 432 x^{2} + 864 x + 4176}}{2 \cdot - 12}$

Paso 8.4.4.5.1.5

Suma $576$ y $4176$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{- 432 x^{2} + 864 x + 4752}}{2 \cdot - 12}$

Paso 8.4.4.5.1.6

Factoriza $432$ de $- 432 x^{2} + 864 x + 4752$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.4.5.1.6.1

Factoriza $432$ de $- 432 x^{2}$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{432 (- x^{2}) + 864 x + 4752}}{2 \cdot - 12}$

Paso 8.4.4.5.1.6.2

Factoriza $432$ de $864 x$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{432 (- x^{2}) + 432 (2 x) + 4752}}{2 \cdot - 12}$

Paso 8.4.4.5.1.6.3

Factoriza $432$ de $4752$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{432 (- x^{2}) + 432 (2 x) + 432 (11)}}{2 \cdot - 12}$

Paso 8.4.4.5.1.6.4

Factoriza $432$ de $432 (- x^{2}) + 432 (2 x)$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{432 (- x^{2} + 2 x) + 432 (11)}}{2 \cdot - 12}$

Paso 8.4.4.5.1.6.5

Factoriza $432$ de $432 (- x^{2} + 2 x) + 432 (11)$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{432 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2 \cdot - 12}$

Paso 8.4.4.5.1.7

Reescribe $432 (- x^{2} + 2 x + 11)$ como $12^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 2 x + 11))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.4.5.1.7.1

Factoriza $144$ de $432$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{144 (3) (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2 \cdot - 12}$

Paso 8.4.4.5.1.7.2

Reescribe $144$ como $12^{2}$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{12^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 2 x + 11))}}{2 \cdot - 12}$

Paso 8.4.4.5.1.7.3

Agrega paréntesis.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{12^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 2 x + 11))}}{2 \cdot - 12}$

Paso 8.4.4.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{24 \pm 12 \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2 \cdot - 12}$

Paso 8.4.4.5.2

Multiplica $2$ por $- 12$ .

$y = \frac{24 \pm 12 \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{- 24}$

Paso 8.4.4.5.3

Simplifica $\frac{24 \pm 12 \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{- 24}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{- 2}$

Paso 8.4.4.5.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{2 \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}$

Paso 8.4.4.5.5

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = - \frac{2 + \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}$

Paso 8.4.4.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 8.4.4.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.4.4.6.1.1

Eleva $- 24$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot - 12 \cdot (- 9 x^{2} + 18 x + 87)}}{2 \cdot - 12}$

Paso 8.4.4.6.1.2

Multiplica $- 4$ por $- 12$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 48 \cdot (- 9 x^{2} + 18 x + 87)}}{2 \cdot - 12}$

Paso 8.4.4.6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 48 (- 9 x^{2}) + 48 (18 x) + 48 \cdot 87}}{2 \cdot - 12}$

Paso 8.4.4.6.1.4

Simplifica.

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Paso 8.4.4.6.1.4.1

Multiplica $- 9$ por $48$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 432 x^{2} + 48 (18 x) + 48 \cdot 87}}{2 \cdot - 12}$

Paso 8.4.4.6.1.4.2

Multiplica $18$ por $48$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 432 x^{2} + 864 x + 48 \cdot 87}}{2 \cdot - 12}$

Paso 8.4.4.6.1.4.3

Multiplica $48$ por $87$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 432 x^{2} + 864 x + 4176}}{2 \cdot - 12}$

Paso 8.4.4.6.1.5

Suma $576$ y $4176$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{- 432 x^{2} + 864 x + 4752}}{2 \cdot - 12}$

Paso 8.4.4.6.1.6

Factoriza $432$ de $- 432 x^{2} + 864 x + 4752$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.4.6.1.6.1

Factoriza $432$ de $- 432 x^{2}$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{432 (- x^{2}) + 864 x + 4752}}{2 \cdot - 12}$

Paso 8.4.4.6.1.6.2

Factoriza $432$ de $864 x$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{432 (- x^{2}) + 432 (2 x) + 4752}}{2 \cdot - 12}$

Paso 8.4.4.6.1.6.3

Factoriza $432$ de $4752$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{432 (- x^{2}) + 432 (2 x) + 432 (11)}}{2 \cdot - 12}$

Paso 8.4.4.6.1.6.4

Factoriza $432$ de $432 (- x^{2}) + 432 (2 x)$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{432 (- x^{2} + 2 x) + 432 (11)}}{2 \cdot - 12}$

Paso 8.4.4.6.1.6.5

Factoriza $432$ de $432 (- x^{2} + 2 x) + 432 (11)$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{432 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2 \cdot - 12}$

Paso 8.4.4.6.1.7

Reescribe $432 (- x^{2} + 2 x + 11)$ como $12^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 2 x + 11))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.4.6.1.7.1

Factoriza $144$ de $432$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{144 (3) (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2 \cdot - 12}$

Paso 8.4.4.6.1.7.2

Reescribe $144$ como $12^{2}$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{12^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 2 x + 11))}}{2 \cdot - 12}$

Paso 8.4.4.6.1.7.3

Agrega paréntesis.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{12^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 2 x + 11))}}{2 \cdot - 12}$

Paso 8.4.4.6.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{24 \pm 12 \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2 \cdot - 12}$

Paso 8.4.4.6.2

Multiplica $2$ por $- 12$ .

$y = \frac{24 \pm 12 \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{- 24}$

Paso 8.4.4.6.3

Simplifica $\frac{24 \pm 12 \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{- 24}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{- 2}$

Paso 8.4.4.6.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{2 \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}$

Paso 8.4.4.6.5

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = - \frac{2 - \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}$

Paso 8.4.4.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = - \frac{2 + \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}$

$y = - \frac{2 - \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}$

$y = - \frac{2 + \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}$

$y = - \frac{2 - \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}$

$y = - \frac{2 + \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}$

$y = - \frac{2 - \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}$

$y = - \frac{2 + \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}$

$y = - \frac{2 - \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}$

Paso 9

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = - \frac{2 + \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}, - \frac{2 - \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}$

Paso 10

Verifica si $f^{- 1} (x) = - \frac{2 + \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}, - \frac{2 - \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}$ es la inversa de $f (x) = \frac{3 + 2 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{3}, \frac{3 - 2 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

El dominio de la inversa es el rango de la función original y viceversa. Obtén el dominio y el rango de $f (x) = \frac{3 + 2 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{3}, \frac{3 - 2 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{3}$ y $f^{- 1} (x) = - \frac{2 + \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}, - \frac{2 - \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}$ y compáralos.

Paso 10.2

Obtén el rango de $f (x) = \frac{3 + 2 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{3}, \frac{3 - 2 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{3}$ .

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Paso 10.2.1

Obtén el rango de $\frac{3 + 2 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{3}$ .

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Paso 10.2.1.1

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[1, 1 + 2 \sqrt{3}]$

Paso 10.2.2

Obtén el rango de $\frac{3 - 2 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{3}$ .

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Paso 10.2.2.1

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[1 - 2 \sqrt{3}, 1]$

Paso 10.2.3

Obtén la unión de $[1, 1 + 2 \sqrt{3}], [1 - 2 \sqrt{3}, 1]$ .

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Paso 10.2.3.1

La unión consiste en todos los elementos contenidos en cada intervalo.

$[1 - 2 \sqrt{3}, 1 + 2 \sqrt{3}]$

Paso 10.3

Obtén el dominio de $- \frac{2 + \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}$ .

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Paso 10.3.1

Establece el radicando en $\sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$3 (- x^{2} + 2 x + 11) \geq 0$

Paso 10.3.2

Resuelve $x$

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Paso 10.3.2.1

Divide cada término en $3 (- x^{2} + 2 x + 11) \geq 0$ por $3$ y simplifica.

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Paso 10.3.2.1.1

Divide cada término en $3 (- x^{2} + 2 x + 11) \geq 0$ por $3$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Paso 10.3.2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.3.2.1.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 10.3.2.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Paso 10.3.2.1.2.1.2

Divide $- x^{2} + 2 x + 11$ por $1$ .

$- x^{2} + 2 x + 11 \geq \frac{0}{3}$

Paso 10.3.2.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.3.2.1.3.1

Divide $0$ por $3$ .

$- x^{2} + 2 x + 11 \geq 0$

Paso 10.3.2.2

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$- x^{2} + 2 x + 11 = 0$

Paso 10.3.2.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 10.3.2.4

Sustituye los valores $a = - 1$ , $b = 2$ y $c = 11$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 11)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 10.3.2.5

Simplifica.

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Paso 10.3.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 10.3.2.5.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot 11}}{2 \cdot - 1}$

Paso 10.3.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot 11$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 11}}{2 \cdot - 1}$

Paso 10.3.2.5.1.2.2

Multiplica $4$ por $11$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 44}}{2 \cdot - 1}$

Paso 10.3.2.5.1.3

Suma $4$ y $44$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot - 1}$

Paso 10.3.2.5.1.4

Reescribe $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

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Paso 10.3.2.5.1.4.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 10.3.2.5.1.4.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot - 1}$

Paso 10.3.2.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 2 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot - 1}$

Paso 10.3.2.5.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 4 \sqrt{3}}{- 2}$

Paso 10.3.2.5.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 4 \sqrt{3}}{- 2}$ .

$x = 1 \pm 2 \sqrt{3}$

Paso 10.3.2.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 10.3.2.6.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.2.6.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot 11}}{2 \cdot - 1}$

Paso 10.3.2.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot 11$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.2.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 11}}{2 \cdot - 1}$

Paso 10.3.2.6.1.2.2

Multiplica $4$ por $11$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 44}}{2 \cdot - 1}$

Paso 10.3.2.6.1.3

Suma $4$ y $44$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot - 1}$

Paso 10.3.2.6.1.4

Reescribe $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.2.6.1.4.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 10.3.2.6.1.4.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot - 1}$

Paso 10.3.2.6.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 2 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot - 1}$

Paso 10.3.2.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 4 \sqrt{3}}{- 2}$

Paso 10.3.2.6.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 4 \sqrt{3}}{- 2}$ .

$x = 1 \pm 2 \sqrt{3}$

Paso 10.3.2.6.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = 1 + 2 \sqrt{3}$

Paso 10.3.2.7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 10.3.2.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 10.3.2.7.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot 11}}{2 \cdot - 1}$

Paso 10.3.2.7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot 11$ .

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Paso 10.3.2.7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 11}}{2 \cdot - 1}$

Paso 10.3.2.7.1.2.2

Multiplica $4$ por $11$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 44}}{2 \cdot - 1}$

Paso 10.3.2.7.1.3

Suma $4$ y $44$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot - 1}$

Paso 10.3.2.7.1.4

Reescribe $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

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Paso 10.3.2.7.1.4.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 10.3.2.7.1.4.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot - 1}$

Paso 10.3.2.7.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 2 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot - 1}$

Paso 10.3.2.7.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 4 \sqrt{3}}{- 2}$

Paso 10.3.2.7.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 4 \sqrt{3}}{- 2}$ .

$x = 1 \pm 2 \sqrt{3}$

Paso 10.3.2.7.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = 1 - 2 \sqrt{3}$

Paso 10.3.2.8

Consolida las soluciones.

$x = 1 + 2 \sqrt{3}, 1 - 2 \sqrt{3}$

Paso 10.3.2.9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 1 - 2 \sqrt{3}$

$1 - 2 \sqrt{3} < x < 1 + 2 \sqrt{3}$

$x > 1 + 2 \sqrt{3}$

Paso 10.3.2.10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.2.10.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 1 - 2 \sqrt{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.2.10.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 1 - 2 \sqrt{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 5$

Paso 10.3.2.10.1.2

Reemplaza $x$ con $- 5$ en la desigualdad original.

$3 (- {(- 5)}^{2} + 2 (- 5) + 11) \geq 0$

Paso 10.3.2.10.1.3

$- 72$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 10.3.2.10.2

Prueba un valor en el intervalo $1 - 2 \sqrt{3} < x < 1 + 2 \sqrt{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.2.10.2.1

Elije un valor en el intervalo $1 - 2 \sqrt{3} < x < 1 + 2 \sqrt{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 10.3.2.10.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$3 (- {(0)}^{2} + 2 (0) + 11) \geq 0$

Paso 10.3.2.10.2.3

$33$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 10.3.2.10.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 1 + 2 \sqrt{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.2.10.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 1 + 2 \sqrt{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 7$

Paso 10.3.2.10.3.2

Reemplaza $x$ con $7$ en la desigualdad original.

$3 (- {(7)}^{2} + 2 (7) + 11) \geq 0$

Paso 10.3.2.10.3.3

$- 72$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 10.3.2.10.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 1 - 2 \sqrt{3}$ Falso

$1 - 2 \sqrt{3} < x < 1 + 2 \sqrt{3}$ Verdadero

$x > 1 + 2 \sqrt{3}$ Falso

$x < 1 - 2 \sqrt{3}$ Falso

$1 - 2 \sqrt{3} < x < 1 + 2 \sqrt{3}$ Verdadero

$x > 1 + 2 \sqrt{3}$ Falso

Paso 10.3.2.11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$1 - 2 \sqrt{3} \leq x \leq 1 + 2 \sqrt{3}$

Paso 10.3.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[1 - 2 \sqrt{3}, 1 + 2 \sqrt{3}]$

Paso 10.4

Obtén el dominio de $\frac{3 + 2 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{3}$ .

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Paso 10.4.1

Establece el radicando en $\sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$3 (- x + 2) (x + 4) \geq 0$

Paso 10.4.2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 10.4.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$- x + 2 = 0$

$x + 4 = 0$

Paso 10.4.2.2

Establece $- x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.4.2.2.1

Establece $- x + 2$ igual a $0$ .

$- x + 2 = 0$

Paso 10.4.2.2.2

Resuelve $- x + 2 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.4.2.2.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 2$

Paso 10.4.2.2.2.2

Divide cada término en $- x = - 2$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.4.2.2.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 10.4.2.2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.4.2.2.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 10.4.2.2.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 10.4.2.2.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.4.2.2.2.2.3.1

Divide $- 2$ por $- 1$ .

$x = 2$

Paso 10.4.2.3

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.4.2.3.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 10.4.2.3.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 10.4.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $3 (- x + 2) (x + 4) \geq 0$ verdadera.

$x = 2, - 4$

Paso 10.4.2.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 4$

$- 4 < x < 2$

$x > 2$

Paso 10.4.2.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.4.2.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.4.2.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 10.4.2.6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$3 (- (- 6) + 2) ((- 6) + 4) \geq 0$

Paso 10.4.2.6.1.3

$- 48$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 10.4.2.6.2

Prueba un valor en el intervalo $- 4 < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.4.2.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 4 < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 10.4.2.6.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$3 (- (0) + 2) ((0) + 4) \geq 0$

Paso 10.4.2.6.2.3

$24$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 10.4.2.6.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.4.2.6.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 10.4.2.6.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$3 (- (4) + 2) ((4) + 4) \geq 0$

Paso 10.4.2.6.3.3

$- 48$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 10.4.2.6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < 2$ Verdadero

$x > 2$ Falso

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < 2$ Verdadero

$x > 2$ Falso

Paso 10.4.2.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 4 \leq x \leq 2$

Paso 10.4.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[- 4, 2]$

Paso 10.5

Como el dominio de $f^{- 1} (x) = - \frac{2 + \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}, - \frac{2 - \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}$ es el rango de $f (x) = \frac{3 + 2 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{3}, \frac{3 - 2 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{3}$ y el rango de $f^{- 1} (x) = - \frac{2 + \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}, - \frac{2 - \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}$ es el dominio de $f (x) = \frac{3 + 2 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{3}, \frac{3 - 2 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{3}$ , entonces $f^{- 1} (x) = - \frac{2 + \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}, - \frac{2 - \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}$ es la inversa de $f (x) = \frac{3 + 2 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{3}, \frac{3 - 2 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{3}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{2 + \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}, - \frac{2 - \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}$

Paso 11