Trigonometría Ejemplos

$\frac{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}{1 + 2 \sin (x) \cos (x)}$

Step 1

Intercambia las variables.

$x = \frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + 2 \sin (y) \cos (y)}$

Step 2

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Reescribe la ecuación como $\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + 2 \sin (y) \cos (y)} = x$ .

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + 2 \sin (y) \cos (y)} = x$

Divide cada término en la ecuación por $\cos (y)$ .

$\frac{\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + 2 \sin (y) \cos (y)}}{\cos (y)} = \frac{x}{\cos (y)}$

Separa las fracciones.

$\frac{\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + 2 \sin (y) \cos (y)}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (y)} = \frac{x}{\cos (y)}$

Convierte de $\frac{1}{\cos (y)}$ a $\sec (y)$ .

$\frac{\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + 2 \sin (y) \cos (y)}}{1} \cdot \sec (y) = \frac{x}{\cos (y)}$

Divide $\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + 2 \sin (y) \cos (y)}$ por $1$ .

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + 2 \sin (y) \cos (y)} \cdot \sec (y) = \frac{x}{\cos (y)}$

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} \cdot \sec (y) = \frac{x}{\cos (y)}$

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Combina $\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)}$ y $\sec (y)$ .

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2} \sec (y)}{1 + \sin (2 y)} = \frac{x}{\cos (y)}$

Reordena los factores en $\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2} \sec (y)}{1 + \sin (2 y)}$ .

$\frac{\sec (y) {(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} = \frac{x}{\cos (y)}$

Separa las fracciones.

$\frac{\sec (y) {(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} = \frac{x}{1} \cdot \frac{1}{\cos (y)}$

Convierte de $\frac{1}{\cos (y)}$ a $\sec (y)$ .

$\frac{\sec (y) {(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} = \frac{x}{1} \cdot \sec (y)$

Divide $x$ por $1$ .

$\frac{\sec (y) {(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} = x \sec (y)$

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Simplifica $\frac{\sec (y) {(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)}$ .

Toca para ver más pasos...

Reescribe $\sec (y)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{\frac{1}{\cos (y)} {(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} = x \sec (y)$

Combina $\frac{1}{\cos (y)}$ y ${(\sin (y) + \cos (y))}^{2}$ .

$\frac{\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{\cos (y)}}{1 + \sin (2 y)} = x \sec (y)$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{\cos (y)} \cdot \frac{1}{1 + \sin (2 y)} = x \sec (y)$

Multiplica $\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{\cos (y)}$ por $\frac{1}{1 + \sin (2 y)}$ .

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{\cos (y) (1 + \sin (2 y))} = x \sec (y)$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Simplifica $x \sec (y)$ .

Toca para ver más pasos...

Reescribe $\sec (y)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{\cos (y) (1 + \sin (2 y))} = x \frac{1}{\cos (y)}$

Combina $x$ y $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{\cos (y) (1 + \sin (2 y))} = \frac{x}{\cos (y)}$

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\cos (y)$ .

$\cos (y) \frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{\cos (y) (1 + \sin (2 y))} = \cos (y) \frac{x}{\cos (y)}$

Cancela el factor común de $\cos (y)$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\cos (y) \frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{\cos (y) (1 + \sin (2 y))} = \cos (y) \frac{x}{\cos (y)}$

Reescribe la expresión.

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} = \cos (y) \frac{x}{\cos (y)}$

Cancela el factor común de $\cos (y)$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} = \cos (y) \frac{x}{\cos (y)}$

Reescribe la expresión.

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} = x$

Multiplica ambos lados por $1 + \sin (2 y)$ .

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} (1 + \sin (2 y)) = x (1 + \sin (2 y))$

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de $1 + \sin (2 y)$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} (1 + \sin (2 y)) = x (1 + \sin (2 y))$

Reescribe la expresión.

${(\sin (y) + \cos (y))}^{2} = x (1 + \sin (2 y))$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Simplifica $x (1 + \sin (2 y))$ .

Toca para ver más pasos...

Aplica la propiedad distributiva.

${(\sin (y) + \cos (y))}^{2} = x \cdot 1 + x \sin (2 y)$

Multiplica $x$ por $1$ .

${(\sin (y) + \cos (y))}^{2} = x + x \sin (2 y)$

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Simplifica ${(\sin (y) + \cos (y))}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Reescribe.

$0 + 0 + {(\sin (y) + \cos (y))}^{2} = x + x \sin (2 y)$

Reescribe ${(\sin (y) + \cos (y))}^{2}$ como $(\sin (y) + \cos (y)) (\sin (y) + \cos (y))$ .

$(\sin (y) + \cos (y)) (\sin (y) + \cos (y)) = x + x \sin (2 y)$

Expande $(\sin (y) + \cos (y)) (\sin (y) + \cos (y))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Aplica la propiedad distributiva.

$\sin (y) (\sin (y) + \cos (y)) + \cos (y) (\sin (y) + \cos (y)) = x + x \sin (2 y)$

Aplica la propiedad distributiva.

$\sin (y) \sin (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) (\sin (y) + \cos (y)) = x + x \sin (2 y)$

Aplica la propiedad distributiva.

$\sin (y) \sin (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) \cos (y) = x + x \sin (2 y)$

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $\sin (y) \sin (y)$ .

Toca para ver más pasos...

Eleva $\sin (y)$ a la potencia de $1$ .

$\sin^{1} (y) \sin (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) \cos (y) = x + x \sin (2 y)$

Eleva $\sin (y)$ a la potencia de $1$ .

$\sin^{1} (y) \sin^{1} (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) \cos (y) = x + x \sin (2 y)$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${\sin (y)}^{1 + 1} + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) \cos (y) = x + x \sin (2 y)$

Suma $1$ y $1$ .

$\sin^{2} (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) \cos (y) = x + x \sin (2 y)$

Multiplica $\cos (y) \cos (y)$ .

Toca para ver más pasos...

Eleva $\cos (y)$ a la potencia de $1$ .

$\sin^{2} (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos^{1} (y) \cos (y) = x + x \sin (2 y)$

Eleva $\cos (y)$ a la potencia de $1$ .

$\sin^{2} (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos^{1} (y) \cos^{1} (y) = x + x \sin (2 y)$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin^{2} (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + {\cos (y)}^{1 + 1} = x + x \sin (2 y)$

Suma $1$ y $1$ .

$\sin^{2} (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (y) = x + x \sin (2 y)$

Reordena los factores de $\sin (y) \cos (y)$ .

$\sin^{2} (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (y) = x + x \sin (2 y)$

Suma $\cos (y) \sin (y)$ y $\cos (y) \sin (y)$ .

$\sin^{2} (y) + 2 \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (y) = x + x \sin (2 y)$

Mueve $\cos^{2} (y)$ .

$\sin^{2} (y) + \cos^{2} (y) + 2 \cos (y) \sin (y) = x + x \sin (2 y)$

Aplica la identidad pitagórica.

$1 + 2 \cos (y) \sin (y) = x + x \sin (2 y)$

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Reordena $2 \cos (y)$ y $\sin (y)$ .

$1 + \sin (y) (2 \cos (y)) = x + x \sin (2 y)$

Reordena $\sin (y)$ y $2$ .

$1 + 2 \cdot \sin (y) \cos (y) = x + x \sin (2 y)$

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$1 + \sin (2 y) = x + x \sin (2 y)$

Sustituye $u$ por $\sin (2 y)$ .

$1 + u = x + x (u)$

Resta $x u$ de ambos lados de la ecuación.

$1 + u - x u = x$

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$u - x u = x - 1$

Factoriza $u$ de $u - x u$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $u$ de $u^{1}$ .

$u \cdot 1 - x u = x - 1$

Factoriza $u$ de $- x u$ .

$u \cdot 1 + u (- x) = x - 1$

Factoriza $u$ de $u \cdot 1 + u (- x)$ .

$u (1 - x) = x - 1$

Divide cada término en $u (1 - x) = x - 1$ por $1 - x$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Divide cada término en $u (1 - x) = x - 1$ por $1 - x$ .

$\frac{u (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x}$

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de $1 - x$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{u (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x}$

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{x}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x}$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$u = \frac{x - 1}{1 - x}$

Cancela el factor común de $x - 1$ y $1 - x$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $- 1$ de $x$ .

$u = \frac{- 1 (- x) - 1}{1 - x}$

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$u = \frac{- 1 (- x) - 1 (1)}{1 - x}$

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- x) - 1 (1)$ .

$u = \frac{- 1 (- x + 1)}{1 - x}$

Reordena los términos.

$u = \frac{- 1 (- x + 1)}{- x + 1}$

Cancela el factor común.

$u = \frac{- 1 (- x + 1)}{- x + 1}$

Divide $- 1$ por $1$ .

$u = - 1$

Sustituye $\sin (2 y)$ por $u$ .

$\sin (2 y) = - 1$

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de seno.

$2 y = \arcsin (- 1)$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

El valor exacto de $\arcsin (- 1)$ es $- \frac{π}{2}$ .

$2 y = - \frac{π}{2}$

Divide cada término en $2 y = - \frac{π}{2}$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Divide cada término en $2 y = - \frac{π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Multiplica $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{π}{2}$ .

$y = - \frac{π}{2 \cdot 2}$

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = - \frac{π}{4}$

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$2 y = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

Toca para ver más pasos...

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$2 y = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$2 y = \frac{3 π}{2}$

Divide cada término en $2 y = \frac{3 π}{2}$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Divide cada término en $2 y = \frac{3 π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Multiplica $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $\frac{3 π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{3 π}{4}$

Obtén el período de $\sin (2 y)$ .

Toca para ver más pasos...

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $2$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{2 π}{2}$

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Suma $π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

Toca para ver más pasos...

Suma $π$ y $- \frac{π}{4}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Resta $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Enumera los nuevos ángulos.

$y = \frac{3 π}{4}$

El período de la función $\sin (2 y)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$y = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$

Step 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ es la inversa de $f (x) = \frac{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}{1 + 2 \sin (x) \cos (x)}$ .

Toca para ver más pasos...

El dominio de la inversa es el rango de la función original y viceversa. Obtén el dominio y el rango de $f (x) = \frac{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}{1 + 2 \sin (x) \cos (x)}$ y $f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ y compáralos.

Obtén el rango de $f (x) = \frac{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}{1 + 2 \sin (x) \cos (x)}$ .

Toca para ver más pasos...

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

Obtén el dominio de $\frac{3 π}{4} + π n$ .

Toca para ver más pasos...

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Como el dominio de $f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ no es igual al rango de $f (x) = \frac{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}{1 + 2 \sin (x) \cos (x)}$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ no es una inversa de $f (x) = \frac{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}{1 + 2 \sin (x) \cos (x)}$ .

No hay una inversa

Step 5