Trigonometría Ejemplos

${(y - 2)}^{2} = 3 (x + 1)$

Paso 1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y - 2 = \pm \sqrt{3 (x + 1)}$

Paso 2

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y - 2 = \sqrt{3 (x + 1)}$

Paso 2.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

Paso 2.3

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y - 2 = - \sqrt{3 (x + 1)}$

Paso 2.4

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

Paso 2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

$y = - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

$y = \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

$y = - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

Paso 3

Intercambia las variables. Crea una ecuación para cada expresión.

$x = \sqrt{3 (y + 1)} + 2, x = - \sqrt{3 (y + 1)} + 2$

Paso 4

Resuelve $y$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt{3 (y + 1)} + 2 = x$ .

$\sqrt{3 (y + 1)} + 2 = x$

Paso 4.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{3 (y + 1)} = x - 2$

Paso 4.3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{3 (y + 1)}}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Paso 4.4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 4.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 (y + 1)}$ como ${(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Paso 4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.4.2.1

Simplifica ${({(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.4.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.4.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Paso 4.4.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.4.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Paso 4.4.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(3 (y + 1))}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Paso 4.4.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

${(3 y + 3 \cdot 1)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Paso 4.4.2.1.3

Simplifica.

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Paso 4.4.2.1.3.1

Multiplica $3$ por $1$ .

${(3 y + 3)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Paso 4.4.2.1.3.2

Simplifica.

$3 y + 3 = {(x - 2)}^{2}$

Paso 4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.4.3.1

Simplifica ${(x - 2)}^{2}$ .

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Paso 4.4.3.1.1

Reescribe ${(x - 2)}^{2}$ como $(x - 2) (x - 2)$ .

$3 y + 3 = (x - 2) (x - 2)$

Paso 4.4.3.1.2

Expande $(x - 2) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.4.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 y + 3 = x (x - 2) - 2 (x - 2)$

Paso 4.4.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 y + 3 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

Paso 4.4.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 y + 3 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Paso 4.4.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.4.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.4.3.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$3 y + 3 = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Paso 4.4.3.1.3.1.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$3 y + 3 = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

Paso 4.4.3.1.3.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$3 y + 3 = x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

Paso 4.4.3.1.3.2

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

$3 y + 3 = x^{2} - 4 x + 4$

Paso 4.5

Resuelve $y$

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Paso 4.5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.5.1.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$3 y = x^{2} - 4 x + 4 - 3$

Paso 4.5.1.2

Resta $3$ de $4$ .

$3 y = x^{2} - 4 x + 1$

Paso 4.5.2

Divide cada término en $3 y = x^{2} - 4 x + 1$ por $3$ y simplifica.

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Paso 4.5.2.1

Divide cada término en $3 y = x^{2} - 4 x + 1$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 4 x}{3} + \frac{1}{3}$

Paso 4.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.5.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 4 x}{3} + \frac{1}{3}$

Paso 4.5.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 4 x}{3} + \frac{1}{3}$

Paso 4.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.5.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$

Paso 5

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$

Paso 6

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ es la inversa de $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ .

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Paso 6.1

El dominio de la inversa es el rango de la función original y viceversa. Obtén el dominio y el rango de $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ y $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ y compáralos.

Paso 6.2

Obtén el rango de $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ .

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Paso 6.2.1

Obtén el rango de $\sqrt{3 (x + 1)} + 2$ .

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Paso 6.2.1.1

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[2, \infty)$

Paso 6.2.2

Obtén el rango de $- \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ .

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Paso 6.2.2.1

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 2]$

Paso 6.2.3

Obtén la unión de $[2, \infty), (- \infty, 2]$ .

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Paso 6.2.3.1

La unión consiste en todos los elementos contenidos en cada intervalo.

$(- \infty, \infty)$

Paso 6.3

Obtén el dominio de $\sqrt{3 (x + 1)} + 2$ .

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Paso 6.3.1

Establece el radicando en $\sqrt{3 (x + 1)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$3 (x + 1) \geq 0$

Paso 6.3.2

Resuelve $x$

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Paso 6.3.2.1

Divide cada término en $3 (x + 1) \geq 0$ por $3$ y simplifica.

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Paso 6.3.2.1.1

Divide cada término en $3 (x + 1) \geq 0$ por $3$ .

$\frac{3 (x + 1)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Paso 6.3.2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.1.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.3.2.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (x + 1)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Paso 6.3.2.1.2.1.2

Divide $x + 1$ por $1$ .

$x + 1 \geq \frac{0}{3}$

Paso 6.3.2.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.1.3.1

Divide $0$ por $3$ .

$x + 1 \geq 0$

Paso 6.3.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$x \geq - 1$

Paso 6.3.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[- 1, \infty)$

Paso 6.4

Como el dominio de $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ es el rango de $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ y el rango de $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ es el dominio de $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ es la inversa de $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$

Paso 7