Trigonometría Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{4} \cdot \sec (π x)$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{1}{4} \cdot \sec (π x)$ como una ecuación.

$y = \frac{1}{4} \cdot \sec (π x)$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{1}{4} \cdot \sec (π y)$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{4} \cdot \sec (π y) = x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \sec (π y) = x$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $4$ .

$4 (\frac{1}{4} \sec (π y)) = 4 x$

Paso 3.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1

Simplifica $4 (\frac{1}{4} \sec (π y))$ .

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Paso 3.3.1.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $\sec (π y)$ .

$4 \frac{\sec (π y)}{4} = 4 x$

Paso 3.3.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$4 \frac{\sec (π y)}{4} = 4 x$

Paso 3.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\sec (π y) = 4 x$

Paso 3.4

Calcula la inversa de la secante de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de la secante.

$π y = arcsec (4 x)$

Paso 3.5

Divide cada término en $π y = arcsec (4 x)$ por $π$ y simplifica.

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Paso 3.5.1

Divide cada término en $π y = arcsec (4 x)$ por $π$ .

$\frac{π y}{π} = \frac{arcsec (4 x)}{π}$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.1

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 3.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{π y}{π} = \frac{arcsec (4 x)}{π}$

Paso 3.5.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{arcsec (4 x)}{π}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{arcsec (4 x)}{π}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{arcsec (4 x)}{π}$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{4} \cdot \sec (π x)$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{1}{4} \cdot \sec (π x))$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} \cdot \sec (π x)) = \frac{arcsec (4 (\frac{1}{4} \cdot \sec (π x)))}{π}$

Paso 5.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.2.3.1.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{1}{4} \cdot \sec (π x)) = \frac{arcsec (4 (\frac{1}{4}) \cdot \sec (π x))}{π}$

Paso 5.2.3.1.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{1}{4} \cdot \sec (π x)) = \frac{arcsec (1 \cdot \sec (π x))}{π}$

Paso 5.2.3.2

Multiplica $\sec (π x)$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} \cdot \sec (π x)) = \frac{arcsec (\sec (π x))}{π}$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{arcsec (4 x)}{π})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{arcsec (4 x)}{π}) = \frac{1}{4} \cdot \sec (π (\frac{arcsec (4 x)}{π}))$

Paso 5.3.3

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 5.3.3.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{arcsec (4 x)}{π}) = \frac{1}{4} \cdot \sec (π (\frac{arcsec (4 x)}{π}))$

Paso 5.3.3.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{arcsec (4 x)}{π}) = \frac{1}{4} \cdot \sec (arcsec (4 x))$

Paso 5.3.4

Las funciones secante y arcosecante son inversas.

$f (\frac{arcsec (4 x)}{π}) = \frac{1}{4} \cdot (4 x)$

Paso 5.3.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.3.5.1

Factoriza $4$ de $4 x$ .

$f (\frac{arcsec (4 x)}{π}) = \frac{1}{4} \cdot (4 (x))$

Paso 5.3.5.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{arcsec (4 x)}{π}) = \frac{1}{4} \cdot (4 x)$

Paso 5.3.5.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{arcsec (4 x)}{π}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{arcsec (4 x)}{π}$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{4} \cdot \sec (π x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{arcsec (4 x)}{π}$