Trigonometría Ejemplos

$9 + \sqrt{x}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = 9 + \sqrt{y}$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $9 + \sqrt{y} = x$ .

$9 + \sqrt{y} = x$

Paso 2.2

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{y} = x - 9$

Paso 2.3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{y}}^{2} = {(x - 9)}^{2}$

Paso 2.4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 9)}^{2}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.4.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.4.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 9)}^{2}$

Paso 2.4.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.4.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 9)}^{2}$

Paso 2.4.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{1} = {(x - 9)}^{2}$

Paso 2.4.2.1.2

Simplifica.

$y = {(x - 9)}^{2}$

Paso 2.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.3.1

Simplifica ${(x - 9)}^{2}$ .

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Paso 2.4.3.1.1

Reescribe ${(x - 9)}^{2}$ como $(x - 9) (x - 9)$ .

$y = (x - 9) (x - 9)$

Paso 2.4.3.1.2

Expande $(x - 9) (x - 9)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.4.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = x (x - 9) - 9 (x - 9)$

Paso 2.4.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = x \cdot x + x \cdot - 9 - 9 (x - 9)$

Paso 2.4.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = x \cdot x + x \cdot - 9 - 9 x - 9 \cdot - 9$

Paso 2.4.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.4.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.3.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = x^{2} + x \cdot - 9 - 9 x - 9 \cdot - 9$

Paso 2.4.3.1.3.1.2

Mueve $- 9$ a la izquierda de $x$ .

$y = x^{2} - 9 \cdot x - 9 x - 9 \cdot - 9$

Paso 2.4.3.1.3.1.3

Multiplica $- 9$ por $- 9$ .

$y = x^{2} - 9 x - 9 x + 81$

Paso 2.4.3.1.3.2

Resta $9 x$ de $- 9 x$ .

$y = x^{2} - 18 x + 81$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 18 x + 81$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = x^{2} - 18 x + 81$ es la inversa de $f (x) = 9 + \sqrt{x}$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (9 + \sqrt{x})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = {(9 + \sqrt{x})}^{2} - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

Paso 4.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.3.1

Reescribe ${(9 + \sqrt{x})}^{2}$ como $(9 + \sqrt{x}) (9 + \sqrt{x})$ .

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = (9 + \sqrt{x}) (9 + \sqrt{x}) - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

Paso 4.2.3.2

Expande $(9 + \sqrt{x}) (9 + \sqrt{x})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.2.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 9 (9 + \sqrt{x}) + \sqrt{x} (9 + \sqrt{x}) - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

Paso 4.2.3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 9 \cdot 9 + 9 \sqrt{x} + \sqrt{x} (9 + \sqrt{x}) - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

Paso 4.2.3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 9 \cdot 9 + 9 \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 9 + \sqrt{x} \sqrt{x} - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

Paso 4.2.3.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.2.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.3.3.1.1

Multiplica $9$ por $9$ .

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 9 \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 9 + \sqrt{x} \sqrt{x} - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

Paso 4.2.3.3.1.2

Mueve $9$ a la izquierda de $\sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 9 \sqrt{x} + 9 \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{x} - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

Paso 4.2.3.3.1.3

Multiplica $\sqrt{x} \sqrt{x}$ .

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Paso 4.2.3.3.1.3.1

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 9 \sqrt{x} + 9 \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{x} - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

Paso 4.2.3.3.1.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 9 \sqrt{x} + 9 \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{1 + 1} - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

Paso 4.2.3.3.1.3.3

Suma $1$ y $1$ .

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 9 \sqrt{x} + 9 \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{2} - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

Paso 4.2.3.3.1.4

Reescribe ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Paso 4.2.3.3.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 9 \sqrt{x} + 9 \sqrt{x} + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

Paso 4.2.3.3.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 9 \sqrt{x} + 9 \sqrt{x} + x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

Paso 4.2.3.3.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 9 \sqrt{x} + 9 \sqrt{x} + x^{\frac{2}{2}} - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

Paso 4.2.3.3.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.3.3.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 9 \sqrt{x} + 9 \sqrt{x} + x^{\frac{2}{2}} - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

Paso 4.2.3.3.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 9 \sqrt{x} + 9 \sqrt{x} + x - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

Paso 4.2.3.3.1.4.5

Simplifica.

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 9 \sqrt{x} + 9 \sqrt{x} + x - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

Paso 4.2.3.3.2

Suma $9 \sqrt{x}$ y $9 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 18 \sqrt{x} + x - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

Paso 4.2.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 18 \sqrt{x} + x - 18 \cdot 9 - 18 \sqrt{x} + 81$

Paso 4.2.3.5

Multiplica $- 18$ por $9$ .

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 18 \sqrt{x} + x - 162 - 18 \sqrt{x} + 81$

Paso 4.2.4

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 4.2.4.1

Combina los términos opuestos en $81 + 18 \sqrt{x} + x - 162 - 18 \sqrt{x} + 81$ .

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Paso 4.2.4.1.1

Resta $18 \sqrt{x}$ de $18 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + x - 162 + 0 + 81$

Paso 4.2.4.1.2

Suma $81 + x - 162$ y $0$ .

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + x - 162 + 81$

Paso 4.2.4.2

Resta $162$ de $81$ .

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = x - 81 + 81$

Paso 4.2.4.3

Combina los términos opuestos en $x - 81 + 81$ .

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Paso 4.2.4.3.1

Suma $- 81$ y $81$ .

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = x + 0$

Paso 4.2.4.3.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (x^{2} - 18 x + 81)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (x^{2} - 18 x + 81) = 9 + \sqrt{x^{2} - 18 x + 81}$

Paso 4.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.3.1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 4.3.3.1.1

Reescribe $81$ como $9^{2}$ .

$f (x^{2} - 18 x + 81) = 9 + \sqrt{x^{2} - 18 x + 9^{2}}$

Paso 4.3.3.1.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$18 x = 2 \cdot x \cdot 9$

Paso 4.3.3.1.3

Reescribe el polinomio.

$f (x^{2} - 18 x + 81) = 9 + \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 9 + 9^{2}}$

Paso 4.3.3.1.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 9$ .

$f (x^{2} - 18 x + 81) = 9 + \sqrt{{(x - 9)}^{2}}$

Paso 4.3.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (x^{2} - 18 x + 81) = 9 + x - 9$

Paso 4.3.4

Combina los términos opuestos en $9 + x - 9$ .

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Paso 4.3.4.1

Resta $9$ de $9$ .

$f (x^{2} - 18 x + 81) = x + 0$

Paso 4.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (x^{2} - 18 x + 81) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = x^{2} - 18 x + 81$ es la inversa de $f (x) = 9 + \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 18 x + 81$