Trigonometría Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 35}{x^{2} + 9 x - 322}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 35}{x^{2} + 9 x - 322}$ como una ecuación.

$y = \frac{x^{2} - 2 x - 35}{x^{2} + 9 x - 322}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{y^{2} - 2 y - 35}{y^{2} + 9 y - 322}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{y^{2} - 2 y - 35}{y^{2} + 9 y - 322} = x$ .

$\frac{y^{2} - 2 y - 35}{y^{2} + 9 y - 322} = x$

Paso 3.2

Factoriza cada término.

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Paso 3.2.1

Factoriza $y^{2} - 2 y - 35$ con el método AC.

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Paso 3.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 35$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 7, 5$

Paso 3.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(y - 7) (y + 5)}{y^{2} + 9 y - 322} = x$

Paso 3.2.2

Factoriza $y^{2} + 9 y - 322$ con el método AC.

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Paso 3.2.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 322$ y cuya suma es $9$ .

$- 14, 23$

Paso 3.2.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(y - 7) (y + 5)}{(y - 14) (y + 23)} = x$

Paso 3.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$(y - 14) (y + 23), 1$

Paso 3.3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$(y - 14) (y + 23)$

Paso 3.4

Multiplica cada término en $\frac{(y - 7) (y + 5)}{(y - 14) (y + 23)} = x$ por $(y - 14) (y + 23)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.4.1

Multiplica cada término en $\frac{(y - 7) (y + 5)}{(y - 14) (y + 23)} = x$ por $(y - 14) (y + 23)$ .

$\frac{(y - 7) (y + 5)}{(y - 14) (y + 23)} ((y - 14) (y + 23)) = x ((y - 14) (y + 23))$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Cancela el factor común de $(y - 14) (y + 23)$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(y - 7) (y + 5)}{(y - 14) (y + 23)} ((y - 14) (y + 23)) = x ((y - 14) (y + 23))$

Paso 3.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$(y - 7) (y + 5) = x ((y - 14) (y + 23))$

Paso 3.4.2.2

Expande $(y - 7) (y + 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.4.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y (y + 5) - 7 (y + 5) = x ((y - 14) (y + 23))$

Paso 3.4.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y \cdot y + y \cdot 5 - 7 (y + 5) = x ((y - 14) (y + 23))$

Paso 3.4.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y \cdot y + y \cdot 5 - 7 y - 7 \cdot 5 = x ((y - 14) (y + 23))$

Paso 3.4.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.4.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.3.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$y^{2} + y \cdot 5 - 7 y - 7 \cdot 5 = x ((y - 14) (y + 23))$

Paso 3.4.2.3.1.2

Mueve $5$ a la izquierda de $y$ .

$y^{2} + 5 \cdot y - 7 y - 7 \cdot 5 = x ((y - 14) (y + 23))$

Paso 3.4.2.3.1.3

Multiplica $- 7$ por $5$ .

$y^{2} + 5 y - 7 y - 35 = x ((y - 14) (y + 23))$

Paso 3.4.2.3.2

Resta $7 y$ de $5 y$ .

$y^{2} - 2 y - 35 = x ((y - 14) (y + 23))$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.1

Expande $(y - 14) (y + 23)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.4.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} - 2 y - 35 = x (y (y + 23) - 14 (y + 23))$

Paso 3.4.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} - 2 y - 35 = x (y \cdot y + y \cdot 23 - 14 (y + 23))$

Paso 3.4.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} - 2 y - 35 = x (y \cdot y + y \cdot 23 - 14 y - 14 \cdot 23)$

Paso 3.4.3.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.4.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.3.2.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$y^{2} - 2 y - 35 = x (y^{2} + y \cdot 23 - 14 y - 14 \cdot 23)$

Paso 3.4.3.2.1.2

Mueve $23$ a la izquierda de $y$ .

$y^{2} - 2 y - 35 = x (y^{2} + 23 \cdot y - 14 y - 14 \cdot 23)$

Paso 3.4.3.2.1.3

Multiplica $- 14$ por $23$ .

$y^{2} - 2 y - 35 = x (y^{2} + 23 y - 14 y - 322)$

Paso 3.4.3.2.2

Resta $14 y$ de $23 y$ .

$y^{2} - 2 y - 35 = x (y^{2} + 9 y - 322)$

Paso 3.4.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} - 2 y - 35 = x y^{2} + x (9 y) + x \cdot - 322$

Paso 3.4.3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.3.4.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y^{2} - 2 y - 35 = x y^{2} + 9 x y + x \cdot - 322$

Paso 3.4.3.4.2

Mueve $- 322$ a la izquierda de $x$ .

$y^{2} - 2 y - 35 = x y^{2} + 9 x y - 322 \cdot x$

$y^{2} - 2 y - 35 = x y^{2} + 9 x y - 322 x$

Paso 3.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.5.1

Mueve todos los términos que contengan $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.5.1.1

Resta $x y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} - 2 y - 35 - x y^{2} = 9 x y - 322 x$

Paso 3.5.1.2

Resta $9 x y$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} - 2 y - 35 - x y^{2} - 9 x y = - 322 x$

Paso 3.5.2

Suma $322 x$ a ambos lados de la ecuación.

$y^{2} - 2 y - 35 - x y^{2} - 9 x y + 322 x = 0$

Paso 3.5.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.5.4

Sustituye los valores $a = 1 - x$ , $b = - 2 - 9 x$ y $c = - 35 + 322 x$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{- (- 2 - 9 x) \pm \sqrt{{(- 2 - 9 x)}^{2} - 4 \cdot ((1 - x) \cdot (- 35 + 322 x))}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2 - (- 9 x) \pm \sqrt{{(- 2 - 9 x)}^{2} - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.5.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$y = \frac{2 - (- 9 x) \pm \sqrt{{(- 2 - 9 x)}^{2} - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.5.3

Multiplica $- 9$ por $- 1$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{{(- 2 - 9 x)}^{2} - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.5.4

Reescribe ${(- 2 - 9 x)}^{2}$ como $(- 2 - 9 x) (- 2 - 9 x)$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{(- 2 - 9 x) (- 2 - 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.5.5

Expande $(- 2 - 9 x) (- 2 - 9 x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.5.5.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{- 2 (- 2 - 9 x) - 9 x (- 2 - 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.5.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{- 2 \cdot - 2 - 2 (- 9 x) - 9 x (- 2 - 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.5.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{- 2 \cdot - 2 - 2 (- 9 x) - 9 x \cdot - 2 - 9 x (- 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.5.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.5.5.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.5.6.1.1

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 - 2 (- 9 x) - 9 x \cdot - 2 - 9 x (- 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.5.6.1.2

Multiplica $- 9$ por $- 2$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 18 x - 9 x \cdot - 2 - 9 x (- 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.5.6.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 9$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 18 x + 18 x - 9 x (- 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.5.6.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 18 x + 18 x - 9 \cdot (- 9 x \cdot x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.5.6.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.5.6.1.5.1

Mueve $x$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 18 x + 18 x - 9 \cdot (- 9 (x \cdot x)) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.5.6.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 18 x + 18 x - 9 \cdot (- 9 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.5.6.1.6

Multiplica $- 9$ por $- 9$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 18 x + 18 x + 81 x^{2} - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.5.6.2

Suma $18 x$ y $18 x$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.5.7

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + (- 4 \cdot 1 - 4 (- x)) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.5.8

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + (- 4 - 4 (- x)) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.5.9

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + (- 4 + 4 x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.5.10

Expande $(- 4 + 4 x) (- 35 + 322 x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.5.5.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} - 4 (- 35 + 322 x) + 4 x (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.5.10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} - 4 \cdot - 35 - 4 (322 x) + 4 x (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.5.10.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} - 4 \cdot - 35 - 4 (322 x) + 4 x \cdot - 35 + 4 x (322 x)}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.5.11

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.5.5.11.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.5.11.1.1

Multiplica $- 4$ por $- 35$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 4 (322 x) + 4 x \cdot - 35 + 4 x (322 x)}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.5.11.1.2

Multiplica $322$ por $- 4$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1288 x + 4 x \cdot - 35 + 4 x (322 x)}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.5.11.1.3

Multiplica $- 35$ por $4$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1288 x - 140 x + 4 x (322 x)}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.5.11.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1288 x - 140 x + 4 \cdot (322 x \cdot x)}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.5.11.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.5.11.1.5.1

Mueve $x$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1288 x - 140 x + 4 \cdot (322 (x \cdot x))}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.5.11.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1288 x - 140 x + 4 \cdot (322 x^{2})}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.5.11.1.6

Multiplica $4$ por $322$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1288 x - 140 x + 1288 x^{2}}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.5.11.2

Resta $140 x$ de $- 1288 x$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1428 x + 1288 x^{2}}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.5.12

Suma $4$ y $140$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{36 x + 81 x^{2} + 144 - 1428 x + 1288 x^{2}}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.5.13

Resta $1428 x$ de $36 x$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{- 1392 x + 81 x^{2} + 144 + 1288 x^{2}}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.5.14

Suma $81 x^{2}$ y $1288 x^{2}$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{- 1392 x + 1369 x^{2} + 144}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.5.15

Reordena los términos.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.6

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{2 + 9 x + \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 3.5.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.7.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2 - (- 9 x) \pm \sqrt{{(- 2 - 9 x)}^{2} - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.7.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$y = \frac{2 - (- 9 x) \pm \sqrt{{(- 2 - 9 x)}^{2} - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.7.1.3

Multiplica $- 9$ por $- 1$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{{(- 2 - 9 x)}^{2} - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.7.1.4

Reescribe ${(- 2 - 9 x)}^{2}$ como $(- 2 - 9 x) (- 2 - 9 x)$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{(- 2 - 9 x) (- 2 - 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.7.1.5

Expande $(- 2 - 9 x) (- 2 - 9 x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.5.7.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{- 2 (- 2 - 9 x) - 9 x (- 2 - 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.7.1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{- 2 \cdot - 2 - 2 (- 9 x) - 9 x (- 2 - 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.7.1.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{- 2 \cdot - 2 - 2 (- 9 x) - 9 x \cdot - 2 - 9 x (- 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.7.1.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.5.7.1.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.7.1.6.1.1

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 - 2 (- 9 x) - 9 x \cdot - 2 - 9 x (- 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.7.1.6.1.2

Multiplica $- 9$ por $- 2$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 18 x - 9 x \cdot - 2 - 9 x (- 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.7.1.6.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 9$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 18 x + 18 x - 9 x (- 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.7.1.6.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 18 x + 18 x - 9 \cdot (- 9 x \cdot x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.7.1.6.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.7.1.6.1.5.1

Mueve $x$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 18 x + 18 x - 9 \cdot (- 9 (x \cdot x)) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.7.1.6.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 18 x + 18 x - 9 \cdot (- 9 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.7.1.6.1.6

Multiplica $- 9$ por $- 9$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 18 x + 18 x + 81 x^{2} - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.7.1.6.2

Suma $18 x$ y $18 x$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.7.1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + (- 4 \cdot 1 - 4 (- x)) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.7.1.8

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + (- 4 - 4 (- x)) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.7.1.9

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + (- 4 + 4 x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.7.1.10

Expande $(- 4 + 4 x) (- 35 + 322 x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.5.7.1.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} - 4 (- 35 + 322 x) + 4 x (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.7.1.10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} - 4 \cdot - 35 - 4 (322 x) + 4 x (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.7.1.10.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} - 4 \cdot - 35 - 4 (322 x) + 4 x \cdot - 35 + 4 x (322 x)}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.7.1.11

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.5.7.1.11.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.7.1.11.1.1

Multiplica $- 4$ por $- 35$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 4 (322 x) + 4 x \cdot - 35 + 4 x (322 x)}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.7.1.11.1.2

Multiplica $322$ por $- 4$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1288 x + 4 x \cdot - 35 + 4 x (322 x)}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.7.1.11.1.3

Multiplica $- 35$ por $4$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1288 x - 140 x + 4 x (322 x)}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.7.1.11.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1288 x - 140 x + 4 \cdot (322 x \cdot x)}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.7.1.11.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.7.1.11.1.5.1

Mueve $x$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1288 x - 140 x + 4 \cdot (322 (x \cdot x))}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.7.1.11.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1288 x - 140 x + 4 \cdot (322 x^{2})}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.7.1.11.1.6

Multiplica $4$ por $322$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1288 x - 140 x + 1288 x^{2}}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.7.1.11.2

Resta $140 x$ de $- 1288 x$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1428 x + 1288 x^{2}}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.7.1.12

Suma $4$ y $140$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{36 x + 81 x^{2} + 144 - 1428 x + 1288 x^{2}}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.7.1.13

Resta $1428 x$ de $36 x$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{- 1392 x + 81 x^{2} + 144 + 1288 x^{2}}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.7.1.14

Suma $81 x^{2}$ y $1288 x^{2}$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{- 1392 x + 1369 x^{2} + 144}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.7.1.15

Reordena los términos.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.7.2

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{2 + 9 x - \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$

Paso 3.5.8

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = \frac{2 + 9 x + \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$

$y = \frac{2 + 9 x - \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$

$y = \frac{2 + 9 x + \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$

$y = \frac{2 + 9 x - \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$

$y = \frac{2 + 9 x + \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$

$y = \frac{2 + 9 x - \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 + 9 x + \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}, \frac{2 + 9 x - \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{2 + 9 x + \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}, \frac{2 + 9 x - \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$ es la inversa de $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 35}{x^{2} + 9 x - 322}$ .

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Paso 5.1

El dominio de la inversa es el rango de la función original y viceversa. Obtén el dominio y el rango de $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 35}{x^{2} + 9 x - 322}$ y $f^{- 1} (x) = \frac{2 + 9 x + \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}, \frac{2 + 9 x - \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$ y compáralos.

Paso 5.2

Obtén el rango de $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 35}{x^{2} + 9 x - 322}$ .

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Paso 5.2.1

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369}] \cup [\frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}, \infty)$

Paso 5.3

Obtén el dominio de $\frac{2 + 9 x + \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$ .

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Paso 5.3.1

Establece el radicando en $\sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$1369 x^{2} - 1392 x + 144 \geq 0$

Paso 5.3.2

Resuelve $x$

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Paso 5.3.2.1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$1369 x^{2} - 1392 x + 144 = 0$

Paso 5.3.2.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 5.3.2.3

Sustituye los valores $a = 1369$ , $b = - 1392$ y $c = 144$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{1392 \pm \sqrt{{(- 1392)}^{2} - 4 \cdot (1369 \cdot 144)}}{2 \cdot 1369}$

Paso 5.3.2.4

Simplifica.

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Paso 5.3.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.2.4.1.1

Eleva $- 1392$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{1937664 - 4 \cdot 1369 \cdot 144}}{2 \cdot 1369}$

Paso 5.3.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1369 \cdot 144$ .

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Paso 5.3.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1369$ .

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{1937664 - 5476 \cdot 144}}{2 \cdot 1369}$

Paso 5.3.2.4.1.2.2

Multiplica $- 5476$ por $144$ .

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{1937664 - 788544}}{2 \cdot 1369}$

Paso 5.3.2.4.1.3

Resta $788544$ de $1937664$ .

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{1149120}}{2 \cdot 1369}$

Paso 5.3.2.4.1.4

Reescribe $1149120$ como $24^{2} \cdot 1995$ .

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Paso 5.3.2.4.1.4.1

Factoriza $576$ de $1149120$ .

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{576 (1995)}}{2 \cdot 1369}$

Paso 5.3.2.4.1.4.2

Reescribe $576$ como $24^{2}$ .

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{24^{2} \cdot 1995}}{2 \cdot 1369}$

Paso 5.3.2.4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{1392 \pm 24 \sqrt{1995}}{2 \cdot 1369}$

Paso 5.3.2.4.2

Multiplica $2$ por $1369$ .

$x = \frac{1392 \pm 24 \sqrt{1995}}{2738}$

Paso 5.3.2.4.3

Simplifica $\frac{1392 \pm 24 \sqrt{1995}}{2738}$ .

$x = \frac{696 \pm 12 \sqrt{1995}}{1369}$

Paso 5.3.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 5.3.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.2.5.1.1

Eleva $- 1392$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{1937664 - 4 \cdot 1369 \cdot 144}}{2 \cdot 1369}$

Paso 5.3.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1369 \cdot 144$ .

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Paso 5.3.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1369$ .

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{1937664 - 5476 \cdot 144}}{2 \cdot 1369}$

Paso 5.3.2.5.1.2.2

Multiplica $- 5476$ por $144$ .

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{1937664 - 788544}}{2 \cdot 1369}$

Paso 5.3.2.5.1.3

Resta $788544$ de $1937664$ .

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{1149120}}{2 \cdot 1369}$

Paso 5.3.2.5.1.4

Reescribe $1149120$ como $24^{2} \cdot 1995$ .

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Paso 5.3.2.5.1.4.1

Factoriza $576$ de $1149120$ .

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{576 (1995)}}{2 \cdot 1369}$

Paso 5.3.2.5.1.4.2

Reescribe $576$ como $24^{2}$ .

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{24^{2} \cdot 1995}}{2 \cdot 1369}$

Paso 5.3.2.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{1392 \pm 24 \sqrt{1995}}{2 \cdot 1369}$

Paso 5.3.2.5.2

Multiplica $2$ por $1369$ .

$x = \frac{1392 \pm 24 \sqrt{1995}}{2738}$

Paso 5.3.2.5.3

Simplifica $\frac{1392 \pm 24 \sqrt{1995}}{2738}$ .

$x = \frac{696 \pm 12 \sqrt{1995}}{1369}$

Paso 5.3.2.5.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}$

Paso 5.3.2.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 5.3.2.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.2.6.1.1

Eleva $- 1392$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{1937664 - 4 \cdot 1369 \cdot 144}}{2 \cdot 1369}$

Paso 5.3.2.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1369 \cdot 144$ .

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Paso 5.3.2.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1369$ .

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{1937664 - 5476 \cdot 144}}{2 \cdot 1369}$

Paso 5.3.2.6.1.2.2

Multiplica $- 5476$ por $144$ .

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{1937664 - 788544}}{2 \cdot 1369}$

Paso 5.3.2.6.1.3

Resta $788544$ de $1937664$ .

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{1149120}}{2 \cdot 1369}$

Paso 5.3.2.6.1.4

Reescribe $1149120$ como $24^{2} \cdot 1995$ .

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Paso 5.3.2.6.1.4.1

Factoriza $576$ de $1149120$ .

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{576 (1995)}}{2 \cdot 1369}$

Paso 5.3.2.6.1.4.2

Reescribe $576$ como $24^{2}$ .

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{24^{2} \cdot 1995}}{2 \cdot 1369}$

Paso 5.3.2.6.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{1392 \pm 24 \sqrt{1995}}{2 \cdot 1369}$

Paso 5.3.2.6.2

Multiplica $2$ por $1369$ .

$x = \frac{1392 \pm 24 \sqrt{1995}}{2738}$

Paso 5.3.2.6.3

Simplifica $\frac{1392 \pm 24 \sqrt{1995}}{2738}$ .

$x = \frac{696 \pm 12 \sqrt{1995}}{1369}$

Paso 5.3.2.6.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369}$

Paso 5.3.2.7

Consolida las soluciones.

$x = \frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}, \frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369}$

Paso 5.3.2.8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < \frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369}$

$\frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369} < x < \frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}$

$x > \frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}$

Paso 5.3.2.9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 5.3.2.9.1

Prueba un valor en el intervalo $x < \frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.3.2.9.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < \frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 5.3.2.9.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$1369 {(0)}^{2} - 1392 \cdot 0 + 144 \geq 0$

Paso 5.3.2.9.1.3

$144$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 5.3.2.9.2

Prueba un valor en el intervalo $\frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369} < x < \frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.3.2.9.2.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369} < x < \frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0.51$

Paso 5.3.2.9.2.2

Reemplaza $x$ con $0.51$ en la desigualdad original.

$1369 {(0.51)}^{2} - 1392 \cdot 0.51 + 144 \geq 0$

Paso 5.3.2.9.2.3

$- 209.8431$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 5.3.2.9.3

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.3.2.9.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 5.3.2.9.3.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$1369 {(3)}^{2} - 1392 \cdot 3 + 144 \geq 0$

Paso 5.3.2.9.3.3

$8289$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 5.3.2.9.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < \frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369}$ Verdadero

$\frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369} < x < \frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}$ Falso

$x > \frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}$ Verdadero

$x < \frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369}$ Verdadero

$\frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369} < x < \frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}$ Falso

$x > \frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}$ Verdadero

Paso 5.3.2.10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq \frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369}$ o $x \geq \frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}$

Paso 5.3.3

Establece el denominador en $\frac{2 + 9 x + \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$2 (1 - x) = 0$

Paso 5.3.4

Resuelve $x$

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Paso 5.3.4.1

Divide cada término en $2 (1 - x) = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 5.3.4.1.1

Divide cada término en $2 (1 - x) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (1 - x)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 5.3.4.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.4.1.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.4.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (1 - x)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 5.3.4.1.2.1.2

Divide $1 - x$ por $1$ .

$1 - x = \frac{0}{2}$

Paso 5.3.4.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.4.1.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$1 - x = 0$

Paso 5.3.4.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 1$

Paso 5.3.4.3

Divide cada término en $- x = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 5.3.4.3.1

Divide cada término en $- x = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 5.3.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.4.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 5.3.4.3.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 5.3.4.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.4.3.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1$

Paso 5.3.5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, \frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369}] \cup [\frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 5.4

Como el dominio de $f^{- 1} (x) = \frac{2 + 9 x + \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}, \frac{2 + 9 x - \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$ no es igual al rango de $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 35}{x^{2} + 9 x - 322}$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{2 + 9 x + \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}, \frac{2 + 9 x - \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$ no es una inversa de $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 35}{x^{2} + 9 x - 322}$ .

No hay una inversa

Paso 6