Trigonometría Ejemplos

$f (t) = 40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55$

Paso 1

Escribe $f (t) = 40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55$ como una ecuación.

$y = 40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55$

Paso 2

Intercambia las variables.

$t = 40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) + 55$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) + 55 = t$ .

$40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) + 55 = t$

Paso 3.2

Resta $55$ de ambos lados de la ecuación.

$40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = t - 55$

Paso 3.3

Divide cada término en $40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = t - 55$ por $40$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = t - 55$ por $40$ .

$\frac{40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2})}{40} = \frac{t}{40} + \frac{- 55}{40}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $40$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2})}{40} = \frac{t}{40} + \frac{- 55}{40}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2})$ por $1$ .

$\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = \frac{t}{40} + \frac{- 55}{40}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.3.1.1

Cancela el factor común de $- 55$ y $40$ .

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Paso 3.3.3.1.1.1

Factoriza $5$ de $- 55$ .

$\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = \frac{t}{40} + \frac{5 (- 11)}{40}$

Paso 3.3.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.3.1.1.2.1

Factoriza $5$ de $40$ .

$\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = \frac{t}{40} + \frac{5 \cdot - 11}{5 \cdot 8}$

Paso 3.3.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = \frac{t}{40} + \frac{5 \cdot - 11}{5 \cdot 8}$

Paso 3.3.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = \frac{t}{40} + \frac{- 11}{8}$

Paso 3.3.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = \frac{t}{40} - \frac{11}{8}$

Paso 3.4

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de seno.

$\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2} = \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$

Paso 3.5

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.1

Combina $\frac{5 π}{4}$ y $y$ .

$\frac{5 π y}{4} - \frac{π}{2} = \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$

Paso 3.6

Suma $\frac{π}{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{5 π y}{4} = \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2}$

Paso 3.7

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{4}{5 π}$ .

$\frac{4}{5 π} \cdot \frac{5 π y}{4} = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Paso 3.8

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.8.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.8.1.1

Simplifica $\frac{4}{5 π} \cdot \frac{5 π y}{4}$ .

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Paso 3.8.1.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.8.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4}{5 π} \cdot \frac{5 π y}{4} = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Paso 3.8.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{5 π} (5 π y) = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Paso 3.8.1.1.2

Cancela el factor común de $5 π$ .

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Paso 3.8.1.1.2.1

Factoriza $5 π$ de $5 π y$ .

$\frac{1}{5 π} (5 π (y)) = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Paso 3.8.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{5 π} (5 π y) = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Paso 3.8.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Paso 3.8.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.8.2.1

Simplifica $\frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$ .

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Paso 3.8.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{4}{5 π} \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{4}{5 π} \cdot \frac{π}{2}$

Paso 3.8.2.1.2

Combina $\frac{4}{5 π}$ y $\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{4}{5 π} \cdot \frac{π}{2}$

Paso 3.8.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.8.2.1.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2 (2)}{5 π} \cdot \frac{π}{2}$

Paso 3.8.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2 \cdot 2}{5 π} \cdot \frac{π}{2}$

Paso 3.8.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{5 π} π$

Paso 3.8.2.1.4

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 3.8.2.1.4.1

Factoriza $π$ de $5 π$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{π \cdot 5} π$

Paso 3.8.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{π \cdot 5} π$

Paso 3.8.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{5}$

Paso 3.9

Suma $\frac{π}{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{5 π y}{4} = \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2}$

Paso 3.10

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{4}{5 π}$ .

$\frac{4}{5 π} \cdot \frac{5 π y}{4} = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Paso 3.11

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.11.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.11.1.1

Simplifica $\frac{4}{5 π} \cdot \frac{5 π y}{4}$ .

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Paso 3.11.1.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.11.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4}{5 π} \cdot \frac{5 π y}{4} = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Paso 3.11.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{5 π} (5 π y) = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Paso 3.11.1.1.2

Cancela el factor común de $5 π$ .

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Paso 3.11.1.1.2.1

Factoriza $5 π$ de $5 π y$ .

$\frac{1}{5 π} (5 π (y)) = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Paso 3.11.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{5 π} (5 π y) = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Paso 3.11.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Paso 3.11.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.11.2.1

Simplifica $\frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$ .

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Paso 3.11.2.1.1

Para escribir $\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

Paso 3.11.2.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.11.2.1.2.1

Combina $\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{4}{5 π} (\frac{\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

Paso 3.11.2.1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{4}{5 π} \cdot \frac{\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) \cdot 2 + π}{2}$

Paso 3.11.2.1.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.11.2.1.2.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$y = \frac{2 (2)}{5 π} \cdot \frac{\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) \cdot 2 + π}{2}$

Paso 3.11.2.1.2.3.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{2 \cdot 2}{5 π} \cdot \frac{\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) \cdot 2 + π}{2}$

Paso 3.11.2.1.2.3.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{2}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) \cdot 2 + π)$

Paso 3.11.2.1.3

Mueve $2$ a la izquierda de $\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$ .

$y = \frac{2}{5 π} (2 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + π)$

Paso 3.11.2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2}{5 π} (2 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})) + \frac{2}{5 π} π$

Paso 3.11.2.1.5

Multiplica $\frac{2}{5 π} (2 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}))$ .

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Paso 3.11.2.1.5.1

Combina $2$ y $\frac{2}{5 π}$ .

$y = \frac{2 \cdot 2}{5 π} \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{2}{5 π} π$

Paso 3.11.2.1.5.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{4}{5 π} \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{2}{5 π} π$

Paso 3.11.2.1.5.3

Combina $\frac{4}{5 π}$ y $\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{5 π} π$

Paso 3.11.2.1.6

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 3.11.2.1.6.1

Factoriza $π$ de $5 π$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{π \cdot 5} π$

Paso 3.11.2.1.6.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{π \cdot 5} π$

Paso 3.11.2.1.6.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{5}$

Paso 3.11.2.1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 3.11.2.1.7.1

Para escribir $- \frac{11}{8}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8} \cdot \frac{5}{5})}{5 π} + \frac{2}{5}$

Paso 3.11.2.1.7.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $40$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.11.2.1.7.2.1

Multiplica $\frac{11}{8}$ por $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11 \cdot 5}{8 \cdot 5})}{5 π} + \frac{2}{5}$

Paso 3.11.2.1.7.2.2

Multiplica $8$ por $5$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11 \cdot 5}{40})}{5 π} + \frac{2}{5}$

Paso 3.11.2.1.7.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t - 11 \cdot 5}{40})}{5 π} + \frac{2}{5}$

Paso 3.11.2.1.7.4

Multiplica $- 11$ por $5$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t - 55}{40})}{5 π} + \frac{2}{5}$

Paso 3.11.2.1.8

Para escribir $\frac{2}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{π}{π}$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t - 55}{40})}{5 π} + \frac{2}{5} \cdot \frac{π}{π}$

Paso 3.11.2.1.9

Multiplica $\frac{2}{5}$ por $\frac{π}{π}$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t - 55}{40})}{5 π} + \frac{2 π}{5 π}$

Paso 3.11.2.1.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + 2 π}{5 π}$

Paso 3.11.2.1.11

Factoriza $2$ de $4 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + 2 π$ .

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Paso 3.11.2.1.11.1

Factoriza $2$ de $4 \arcsin (\frac{t - 55}{40})$ .

$y = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})) + 2 π}{5 π}$

Paso 3.11.2.1.11.2

Factoriza $2$ de $2 π$ .

$y = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})) + 2 (π)}{5 π}$

Paso 3.11.2.1.11.3

Factoriza $2$ de $2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})) + 2 (π)$ .

$y = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (t)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (t) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (t) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}$ es la inversa de $f (t) = 40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (t)) = t$ y $f (f^{- 1} (t)) = t$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (t))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (t))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{(40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) - 55}{40}) + π)}{5 π}$

Paso 5.2.3

Cancela el factor común de $(40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) - 55$ y $40$ .

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Paso 5.2.3.1

Factoriza $5$ de $40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2})$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2})) + 55 - 55}{40}) + π)}{5 π}$

Paso 5.2.3.2

Factoriza $5$ de $55$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2})) + 5 (11) - 55}{40}) + π)}{5 π}$

Paso 5.2.3.3

Factoriza $5$ de $5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2})) + 5 (11)$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11) - 55}{40}) + π)}{5 π}$

Paso 5.2.3.4

Factoriza $5$ de $- 55$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11) + 5 (- 11)}{40}) + π)}{5 π}$

Paso 5.2.3.5

Factoriza $5$ de $5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11) + 5 (- 11)$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11 - 11)}{40}) + π)}{5 π}$

Paso 5.2.3.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.6.1

Factoriza $5$ de $40$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11 - 11)}{5 (8)}) + π)}{5 π}$

Paso 5.2.3.6.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11 - 11)}{5 \cdot 8}) + π)}{5 π}$

Paso 5.2.3.6.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11 - 11}{8}) + π)}{5 π}$

Paso 5.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.4.1

Combina $\frac{5 π}{4}$ y $t$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{8 \sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2}) + 11 - 11}{8}) + π)}{5 π}$

Paso 5.2.4.2

Resta $11$ de $11$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{8 \sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2}) + 0}{8}) + π)}{5 π}$

Paso 5.2.4.3

Suma $8 \sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2})$ y $0$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{8 \sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2})}{8}) + π)}{5 π}$

Paso 5.2.5

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 5.2.5.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{8 \sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2})}{8}) + π)}{5 π}$

Paso 5.2.5.2

Divide $\sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2})$ por $1$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2})) + π)}{5 π}$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (t))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (t))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{5 π}{4} \cdot (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) - \frac{π}{2}) + 55$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1.1

Cancela el factor común de $5 π$ .

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Paso 5.3.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π} - \frac{π}{2}) + 55$

Paso 5.3.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{4} \cdot (2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)) - \frac{π}{2}) + 55$

Paso 5.3.3.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{2 (2)} \cdot (2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)) - \frac{π}{2}) + 55$

Paso 5.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)) - \frac{π}{2}) + 55$

Paso 5.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π) - \frac{π}{2}) + 55$

Paso 5.3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})) + \frac{1}{2} \cdot π - \frac{π}{2}) + 55$

Paso 5.3.3.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.1.4.1

Factoriza $2$ de $2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{2} \cdot (2 (\arcsin (\frac{t - 55}{40}))) + \frac{1}{2} \cdot π - \frac{π}{2}) + 55$

Paso 5.3.3.1.4.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})) + \frac{1}{2} \cdot π - \frac{π}{2}) + 55$

Paso 5.3.3.1.4.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\arcsin (\frac{t - 55}{40}) + \frac{1}{2} \cdot π - \frac{π}{2}) + 55$

Paso 5.3.3.1.5

Combina $\frac{1}{2}$ y $π$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\arcsin (\frac{t - 55}{40}) + \frac{π}{2} - \frac{π}{2}) + 55$

Paso 5.3.3.1.6

Para escribir $\arcsin (\frac{t - 55}{40})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\arcsin (\frac{t - 55}{40}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2} - \frac{π}{2}) + 55$

Paso 5.3.3.1.7

Combina $\arcsin (\frac{t - 55}{40})$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{\arcsin (\frac{t - 55}{40}) \cdot 2}{2} + \frac{π}{2} - \frac{π}{2}) + 55$

Paso 5.3.3.1.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{\arcsin (\frac{t - 55}{40}) \cdot 2 + π}{2} - \frac{π}{2}) + 55$

Paso 5.3.3.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $\arcsin (\frac{t - 55}{40})$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π}{2} - \frac{π}{2}) + 55$

Paso 5.3.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π - π}{2}) + 55$

Paso 5.3.3.3

Combina los términos opuestos en $2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π - π$ .

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Paso 5.3.3.3.1

Resta $π$ de $π$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + 0}{2}) + 55$

Paso 5.3.3.3.2

Suma $2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})$ y $0$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})}{2}) + 55$

Paso 5.3.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})}{2}) + 55$

Paso 5.3.3.4.2

Divide $\arcsin (\frac{t - 55}{40})$ por $1$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\arcsin (\frac{t - 55}{40})) + 55$

Paso 5.3.3.5

Las funciones seno y arcoseno son inversas.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 (\frac{t - 55}{40}) + 55$

Paso 5.3.3.6

Cancela el factor común de $40$ .

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Paso 5.3.3.6.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 (\frac{t - 55}{40}) + 55$

Paso 5.3.3.6.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = t - 55 + 55$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $t - 55 + 55$ .

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Paso 5.3.4.1

Suma $- 55$ y $55$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = t + 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $t$ y $0$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = t$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (t)) = t$ y $f (f^{- 1} (t)) = t$ , entonces $f^{- 1} (t) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}$ es la inversa de $f (t) = 40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55$ .

$f^{- 1} (t) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}$