Trigonometría Ejemplos

$f (t) = 3 e^{0.1 t}$

Paso 1

Escribe $f (t) = 3 e^{0.1 t}$ como una ecuación.

$y = 3 e^{0.1 t}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$t = 3 e^{0.1 y}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $3 e^{0.1 y} = t$ .

$3 e^{0.1 y} = t$

Paso 3.2

Divide cada término en $3 e^{0.1 y} = t$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $3 e^{0.1 y} = t$ por $3$ .

$\frac{3 e^{0.1 y}}{3} = \frac{t}{3}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 e^{0.1 y}}{3} = \frac{t}{3}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $e^{0.1 y}$ por $1$ .

$e^{0.1 y} = \frac{t}{3}$

Paso 3.3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{0.1 y}) = \ln (\frac{t}{3})$

Paso 3.4

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.4.1

Expande $\ln (e^{0.1 y})$ ; para ello, mueve $0.1 y$ fuera del logaritmo.

$0.1 y \ln (e) = \ln (\frac{t}{3})$

Paso 3.4.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$0.1 y \cdot 1 = \ln (\frac{t}{3})$

Paso 3.4.3

Multiplica $0.1$ por $1$ .

$0.1 y = \ln (\frac{t}{3})$

Paso 3.5

Divide cada término en $0.1 y = \ln (\frac{t}{3})$ por $0.1$ y simplifica.

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Paso 3.5.1

Divide cada término en $0.1 y = \ln (\frac{t}{3})$ por $0.1$ .

$\frac{0.1 y}{0.1} = \frac{\ln (\frac{t}{3})}{0.1}$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.1

Cancela el factor común de $0.1$ .

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Paso 3.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{0.1 y}{0.1} = \frac{\ln (\frac{t}{3})}{0.1}$

Paso 3.5.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{t}{3})}{0.1}$

Paso 3.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.3.1

Multiplica por $1$ .

$y = \frac{1 \ln (\frac{t}{3})}{0.1}$

Paso 3.5.3.2

Factoriza $0.1$ de $0.1$ .

$y = \frac{1 \ln (\frac{t}{3})}{0.1 (1)}$

Paso 3.5.3.3

Separa las fracciones.

$y = \frac{1}{0.1} \cdot \frac{\ln (\frac{t}{3})}{1}$

Paso 3.5.3.4

Divide $1$ por $0.1$ .

$y = 10 \frac{\ln (\frac{t}{3})}{1}$

Paso 3.5.3.5

Divide $\ln (\frac{t}{3})$ por $1$ .

$y = 10 \ln (\frac{t}{3})$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (t)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (t) = 10 \ln (\frac{t}{3})$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (t) = 10 \ln (\frac{t}{3})$ es la inversa de $f (t) = 3 e^{0.1 t}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (t)) = t$ y $f (f^{- 1} (t)) = t$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (t))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (t))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (3 e^{0.1 t})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 \ln (\frac{3 e^{0.1 t}}{3})$

Paso 5.2.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.3.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 \ln (\frac{3 e^{0.1 t}}{3})$

Paso 5.2.3.2

Divide $e^{0.1 t}$ por $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 \ln (e^{0.1 t})$

Paso 5.2.4

Usa las reglas de logaritmos para mover $0.1 t$ fuera del exponente.

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 (0.1 t \ln (e))$

Paso 5.2.5

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 (0.1 t \cdot 1)$

Paso 5.2.6

Multiplica $0.1$ por $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 (0.1 t)$

Paso 5.2.7

Multiplica $10 (0.1 t)$ .

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Paso 5.2.7.1

Multiplica $0.1$ por $10$ .

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 1 t$

Paso 5.2.7.2

Multiplica $t$ por $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = t$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (t))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (t))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (10 \ln (\frac{t}{3}))$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 e^{0.1 (10 \ln (\frac{t}{3}))}$

Paso 5.3.3

Simplifica $10 \ln (\frac{t}{3})$ al mover $10$ dentro del algoritmo.

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 e^{0.1 \ln ({(\frac{t}{3})}^{10})}$

Paso 5.3.4

Simplifica $0.1 \ln ({(\frac{t}{3})}^{10})$ al mover $0.1$ dentro del algoritmo.

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 e^{\ln ({({(\frac{t}{3})}^{10})}^{0.1})}$

Paso 5.3.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 {({(\frac{t}{3})}^{10})}^{0.1}$

Paso 5.3.6

Multiplica los exponentes en ${({(\frac{t}{3})}^{10})}^{0.1}$ .

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Paso 5.3.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 {(\frac{t}{3})}^{10 \cdot 0.1}$

Paso 5.3.6.2

Multiplica $10$ por $0.1$ .

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 (\frac{t}{3})$

Paso 5.3.7

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.7.1

Cancela el factor común.

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 (\frac{t}{3})$

Paso 5.3.7.2

Reescribe la expresión.

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = t$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (t)) = t$ y $f (f^{- 1} (t)) = t$ , entonces $f^{- 1} (t) = 10 \ln (\frac{t}{3})$ es la inversa de $f (t) = 3 e^{0.1 t}$ .

$f^{- 1} (t) = 10 \ln (\frac{t}{3})$