Trigonometría Ejemplos

$f (t) = - \frac{1}{4} \cdot \cos (2 t)$

Paso 1

Escribe $f (t) = - \frac{1}{4} \cdot \cos (2 t)$ como una ecuación.

$y = - \frac{1}{4} \cdot \cos (2 t)$

Paso 2

Intercambia las variables.

$t = - \frac{1}{4} \cdot \cos (2 y)$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{1}{4} \cdot \cos (2 y) = t$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \cos (2 y) = t$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- 4$ .

$- 4 (- \frac{1}{4} \cos (2 y)) = - 4 t$

Paso 3.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1

Simplifica $- 4 (- \frac{1}{4} \cos (2 y))$ .

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Paso 3.3.1.1

Combina $\cos (2 y)$ y $\frac{1}{4}$ .

$- 4 (- \frac{\cos (2 y)}{4}) = - 4 t$

Paso 3.3.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.3.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\cos (2 y)}{4}$ al numerador.

$- 4 \frac{- \cos (2 y)}{4} = - 4 t$

Paso 3.3.1.2.2

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{- \cos (2 y)}{4} = - 4 t$

Paso 3.3.1.2.3

Cancela el factor común.

$4 \cdot - 1 \frac{- \cos (2 y)}{4} = - 4 t$

Paso 3.3.1.2.4

Reescribe la expresión.

$- - \cos (2 y) = - 4 t$

Paso 3.3.1.3

Multiplica.

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Paso 3.3.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \cos (2 y) = - 4 t$

Paso 3.3.1.3.2

Multiplica $\cos (2 y)$ por $1$ .

$\cos (2 y) = - 4 t$

Paso 3.4

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior del coseno.

$2 y = \arccos (- 4 t)$

Paso 3.5

Divide cada término en $2 y = \arccos (- 4 t)$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.5.1

Divide cada término en $2 y = \arccos (- 4 t)$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arccos (- 4 t)}{2}$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arccos (- 4 t)}{2}$

Paso 3.5.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\arccos (- 4 t)}{2}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (t)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (t) = \frac{\arccos (- 4 t)}{2}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (t) = \frac{\arccos (- 4 t)}{2}$ es la inversa de $f (t) = - \frac{1}{4} \cdot \cos (2 t)$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (t)) = t$ y $f (f^{- 1} (t)) = t$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (t))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (t))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (- \frac{1}{4} \cdot \cos (2 t))$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{4} \cdot \cos (2 t)) = \frac{\arccos (- 4 (- \frac{1}{4} \cdot \cos (2 t)))}{2}$

Paso 5.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1

Combina $\cos (2 t)$ y $\frac{1}{4}$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{4} \cdot \cos (2 t)) = \frac{\arccos (- 4 (- \frac{\cos (2 t)}{4}))}{2}$

Paso 5.2.3.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.2.3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\cos (2 t)}{4}$ al numerador.

$f^{- 1} (- \frac{1}{4} \cdot \cos (2 t)) = \frac{\arccos (- 4 \frac{- \cos (2 t)}{4})}{2}$

Paso 5.2.3.2.2

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{4} \cdot \cos (2 t)) = \frac{\arccos (4 (- 1) (\frac{- \cos (2 t)}{4}))}{2}$

Paso 5.2.3.2.3

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (- \frac{1}{4} \cdot \cos (2 t)) = \frac{\arccos (4 \cdot (- 1 \frac{- \cos (2 t)}{4}))}{2}$

Paso 5.2.3.2.4

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (- \frac{1}{4} \cdot \cos (2 t)) = \frac{\arccos (- 1 (- \cos (2 t)))}{2}$

Paso 5.2.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{4} \cdot \cos (2 t)) = \frac{\arccos (1 \cos (2 t))}{2}$

Paso 5.2.3.4

Multiplica $\cos (2 t)$ por $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{4} \cdot \cos (2 t)) = \frac{\arccos (\cos (2 t))}{2}$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (t))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (t))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{\arccos (- 4 t)}{2})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\arccos (- 4 t)}{2}) = - \frac{1}{4} \cdot \cos (2 (\frac{\arccos (- 4 t)}{2}))$

Paso 5.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\arccos (- 4 t)}{2}) = - \frac{1}{4} \cdot \cos (2 (\frac{\arccos (- 4 t)}{2}))$

Paso 5.3.3.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\arccos (- 4 t)}{2}) = - \frac{1}{4} \cdot \cos (\arccos (- 4 t))$

Paso 5.3.4

Las funciones coseno y arcocoseno son inversas.

$f (\frac{\arccos (- 4 t)}{2}) = - \frac{1}{4} \cdot (- 4 t)$

Paso 5.3.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.3.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{4}$ al numerador.

$f (\frac{\arccos (- 4 t)}{2}) = \frac{- 1}{4} \cdot (- 4 t)$

Paso 5.3.5.2

Factoriza $4$ de $- 4 t$ .

$f (\frac{\arccos (- 4 t)}{2}) = \frac{- 1}{4} \cdot (4 (- t))$

Paso 5.3.5.3

Cancela el factor común.

$f (\frac{\arccos (- 4 t)}{2}) = \frac{- 1}{4} \cdot (4 (- t))$

Paso 5.3.5.4

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\arccos (- 4 t)}{2}) = - 1 \cdot (- t)$

Paso 5.3.6

Multiplica.

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Paso 5.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (\frac{\arccos (- 4 t)}{2}) = 1 \cdot t$

Paso 5.3.6.2

Multiplica $t$ por $1$ .

$f (\frac{\arccos (- 4 t)}{2}) = t$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (t)) = t$ y $f (f^{- 1} (t)) = t$ , entonces $f^{- 1} (t) = \frac{\arccos (- 4 t)}{2}$ es la inversa de $f (t) = - \frac{1}{4} \cdot \cos (2 t)$ .

$f^{- 1} (t) = \frac{\arccos (- 4 t)}{2}$