Trigonometría Ejemplos

$f (x) = - \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}$

Paso 1

Escribe $f (x) = - \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}$ como una ecuación.

$y = - \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = - \frac{7}{5} y + \frac{5}{3}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{7}{5} y + \frac{5}{3} = x$ .

$- \frac{7}{5} y + \frac{5}{3} = x$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $y$ y $\frac{7}{5}$ .

$- \frac{y \cdot 7}{5} + \frac{5}{3} = x$

Paso 3.2.2

Mueve $7$ a la izquierda de $y$ .

$- \frac{7 y}{5} + \frac{5}{3} = x$

Paso 3.3

Resta $\frac{5}{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{7 y}{5} = x - \frac{5}{3}$

Paso 3.4

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- \frac{5}{7}$ .

$- \frac{5}{7} (- \frac{7 y}{5}) = - \frac{5}{7} (x - \frac{5}{3})$

Paso 3.5

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.1.1

Simplifica $- \frac{5}{7} (- \frac{7 y}{5})$ .

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Paso 3.5.1.1.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.5.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{5}{7}$ al numerador.

$\frac{- 5}{7} (- \frac{7 y}{5}) = - \frac{5}{7} (x - \frac{5}{3})$

Paso 3.5.1.1.1.2

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{7 y}{5}$ al numerador.

$\frac{- 5}{7} \cdot \frac{- 7 y}{5} = - \frac{5}{7} (x - \frac{5}{3})$

Paso 3.5.1.1.1.3

Factoriza $5$ de $- 5$ .

$\frac{5 (- 1)}{7} \cdot \frac{- 7 y}{5} = - \frac{5}{7} (x - \frac{5}{3})$

Paso 3.5.1.1.1.4

Cancela el factor común.

$\frac{5 \cdot - 1}{7} \cdot \frac{- 7 y}{5} = - \frac{5}{7} (x - \frac{5}{3})$

Paso 3.5.1.1.1.5

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{7} (- 7 y) = - \frac{5}{7} (x - \frac{5}{3})$

Paso 3.5.1.1.2

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 3.5.1.1.2.1

Factoriza $7$ de $- 7 y$ .

$\frac{- 1}{7} (7 (- y)) = - \frac{5}{7} (x - \frac{5}{3})$

Paso 3.5.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{7} (7 (- y)) = - \frac{5}{7} (x - \frac{5}{3})$

Paso 3.5.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$- - y = - \frac{5}{7} (x - \frac{5}{3})$

Paso 3.5.1.1.3

Multiplica.

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Paso 3.5.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 y = - \frac{5}{7} (x - \frac{5}{3})$

Paso 3.5.1.1.3.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$y = - \frac{5}{7} (x - \frac{5}{3})$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.1

Simplifica $- \frac{5}{7} (x - \frac{5}{3})$ .

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Paso 3.5.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{5}{7} x - \frac{5}{7} (- \frac{5}{3})$

Paso 3.5.2.1.2

Combina $x$ y $\frac{5}{7}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{7} - \frac{5}{7} (- \frac{5}{3})$

Paso 3.5.2.1.3

Multiplica $- \frac{5}{7} (- \frac{5}{3})$ .

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Paso 3.5.2.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{7} + 1 (\frac{5}{7}) \frac{5}{3}$

Paso 3.5.2.1.3.2

Multiplica $\frac{5}{7}$ por $1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{7} + \frac{5}{7} \cdot \frac{5}{3}$

Paso 3.5.2.1.3.3

Multiplica $\frac{5}{7}$ por $\frac{5}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{7} + \frac{5 \cdot 5}{7 \cdot 3}$

Paso 3.5.2.1.3.4

Multiplica $5$ por $5$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{7} + \frac{25}{7 \cdot 3}$

Paso 3.5.2.1.3.5

Multiplica $7$ por $3$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{7} + \frac{25}{21}$

Paso 3.5.2.1.4

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$y = - \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = - \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}$ es la inversa de $f (x) = - \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - \frac{5 (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3})}{7} + \frac{25}{21}$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1.1

Combina $x$ y $\frac{7}{5}$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - \frac{5 (- \frac{x \cdot 7}{5} + \frac{5}{3})}{7} + \frac{25}{21}$

Paso 5.2.3.1.2

Mueve $7$ a la izquierda de $x$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - \frac{5 (- \frac{7 \cdot x}{5} + \frac{5}{3})}{7} + \frac{25}{21}$

Paso 5.2.3.1.3

Para escribir $- \frac{7 x}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - \frac{5 (- \frac{7 x}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{5}{3})}{7} + \frac{25}{21}$

Paso 5.2.3.1.4

Para escribir $\frac{5}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - \frac{5 (- \frac{7 x}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{5})}{7} + \frac{25}{21}$

Paso 5.2.3.1.5

Escribe cada expresión con un denominador común de $15$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.2.3.1.5.1

Multiplica $\frac{7 x}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - \frac{5 (- \frac{7 x \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{5})}{7} + \frac{25}{21}$

Paso 5.2.3.1.5.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - \frac{5 (- \frac{7 x \cdot 3}{15} + \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{5})}{7} + \frac{25}{21}$

Paso 5.2.3.1.5.3

Multiplica $\frac{5}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - \frac{5 (- \frac{7 x \cdot 3}{15} + \frac{5 \cdot 5}{3 \cdot 5})}{7} + \frac{25}{21}$

Paso 5.2.3.1.5.4

Multiplica $3$ por $5$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - \frac{5 (- \frac{7 x \cdot 3}{15} + \frac{5 \cdot 5}{15})}{7} + \frac{25}{21}$

Paso 5.2.3.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - \frac{5 (\frac{- 7 x \cdot 3 + 5 \cdot 5}{15})}{7} + \frac{25}{21}$

Paso 5.2.3.1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1.7.1

Multiplica $3$ por $- 7$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - \frac{5 (\frac{- 21 x + 5 \cdot 5}{15})}{7} + \frac{25}{21}$

Paso 5.2.3.1.7.2

Multiplica $5$ por $5$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - \frac{5 (\frac{- 21 x + 25}{15})}{7} + \frac{25}{21}$

Paso 5.2.3.2

Combina $5$ y $\frac{- 21 x + 25}{15}$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - \frac{\frac{5 (- 21 x + 25)}{15}}{7} + \frac{25}{21}$

Paso 5.2.3.3

Reduce la expresión $\frac{5 (- 21 x + 25)}{15}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.3.3.1

Factoriza $5$ de $15$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - \frac{\frac{5 (- 21 x + 25)}{5 \cdot 3}}{7} + \frac{25}{21}$

Paso 5.2.3.3.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - \frac{\frac{5 (- 21 x + 25)}{5 \cdot 3}}{7} + \frac{25}{21}$

Paso 5.2.3.3.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - \frac{\frac{- 21 x + 25}{3}}{7} + \frac{25}{21}$

Paso 5.2.3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - (\frac{- 21 x + 25}{3} \cdot \frac{1}{7}) + \frac{25}{21}$

Paso 5.2.3.5

Multiplica $\frac{- 21 x + 25}{3} \cdot \frac{1}{7}$ .

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Paso 5.2.3.5.1

Multiplica $\frac{- 21 x + 25}{3}$ por $\frac{1}{7}$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - \frac{- 21 x + 25}{3 \cdot 7} + \frac{25}{21}$

Paso 5.2.3.5.2

Multiplica $3$ por $7$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - \frac{- 21 x + 25}{21} + \frac{25}{21}$

Paso 5.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = \frac{- (- 21 x + 25) + 25}{21}$

Paso 5.2.5

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = \frac{- (- 21 x) - 1 \cdot 25 + 25}{21}$

Paso 5.2.5.2

Multiplica $- 21$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = \frac{21 x - 1 \cdot 25 + 25}{21}$

Paso 5.2.5.3

Multiplica $- 1$ por $25$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = \frac{21 x - 25 + 25}{21}$

Paso 5.2.6

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.6.1

Combina los términos opuestos en $21 x - 25 + 25$ .

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Paso 5.2.6.1.1

Suma $- 25$ y $25$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = \frac{21 x + 0}{21}$

Paso 5.2.6.1.2

Suma $21 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = \frac{21 x}{21}$

Paso 5.2.6.2

Cancela el factor común de $21$ .

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Paso 5.2.6.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = \frac{21 x}{21}$

Paso 5.2.6.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = - \frac{7}{5} \cdot (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) + \frac{5}{3}$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = - \frac{7}{5} \cdot (- \frac{5 x}{7}) - \frac{7}{5} \cdot \frac{25}{21} + \frac{5}{3}$

Paso 5.3.3.2

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{7}{5}$ al numerador.

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = \frac{- 7}{5} \cdot (- \frac{5 x}{7}) - \frac{7}{5} \cdot \frac{25}{21} + \frac{5}{3}$

Paso 5.3.3.2.2

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{5 x}{7}$ al numerador.

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = \frac{- 7}{5} \cdot \frac{- 5 x}{7} - \frac{7}{5} \cdot \frac{25}{21} + \frac{5}{3}$

Paso 5.3.3.2.3

Factoriza $7$ de $- 7$ .

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = \frac{7 (- 1)}{5} \cdot \frac{- 5 x}{7} - \frac{7}{5} \cdot \frac{25}{21} + \frac{5}{3}$

Paso 5.3.3.2.4

Cancela el factor común.

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = \frac{7 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{- 5 x}{7} - \frac{7}{5} \cdot \frac{25}{21} + \frac{5}{3}$

Paso 5.3.3.2.5

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = \frac{- 1}{5} \cdot (- 5 x) - \frac{7}{5} \cdot \frac{25}{21} + \frac{5}{3}$

Paso 5.3.3.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.3.3.3.1

Factoriza $5$ de $- 5 x$ .

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = \frac{- 1}{5} \cdot (5 (- x)) - \frac{7}{5} \cdot \frac{25}{21} + \frac{5}{3}$

Paso 5.3.3.3.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = \frac{- 1}{5} \cdot (5 (- x)) - \frac{7}{5} \cdot \frac{25}{21} + \frac{5}{3}$

Paso 5.3.3.3.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = - 1 (- x) - \frac{7}{5} \cdot \frac{25}{21} + \frac{5}{3}$

Paso 5.3.3.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = 1 x - \frac{7}{5} \cdot \frac{25}{21} + \frac{5}{3}$

Paso 5.3.3.5

Multiplica $x$ por $1$ .

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = x - \frac{7}{5} \cdot \frac{25}{21} + \frac{5}{3}$

Paso 5.3.3.6

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 5.3.3.6.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{7}{5}$ al numerador.

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = x + \frac{- 7}{5} \cdot \frac{25}{21} + \frac{5}{3}$

Paso 5.3.3.6.2

Factoriza $7$ de $- 7$ .

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = x + \frac{7 (- 1)}{5} \cdot \frac{25}{21} + \frac{5}{3}$

Paso 5.3.3.6.3

Factoriza $7$ de $21$ .

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = x + \frac{7 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{25}{7 \cdot 3} + \frac{5}{3}$

Paso 5.3.3.6.4

Cancela el factor común.

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = x + \frac{7 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{25}{7 \cdot 3} + \frac{5}{3}$

Paso 5.3.3.6.5

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = x + \frac{- 1}{5} \cdot \frac{25}{3} + \frac{5}{3}$

Paso 5.3.3.7

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.3.3.7.1

Factoriza $5$ de $25$ .

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = x + \frac{- 1}{5} \cdot \frac{5 (5)}{3} + \frac{5}{3}$

Paso 5.3.3.7.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = x + \frac{- 1}{5} \cdot \frac{5 \cdot 5}{3} + \frac{5}{3}$

Paso 5.3.3.7.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = x - 1 (\frac{5}{3}) + \frac{5}{3}$

Paso 5.3.3.8

Reescribe $- 1 (\frac{5}{3})$ como $- (\frac{5}{3})$ .

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = x - \frac{5}{3} + \frac{5}{3}$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $x - \frac{5}{3} + \frac{5}{3}$ .

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Paso 5.3.4.1

Suma $- \frac{5}{3}$ y $\frac{5}{3}$ .

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = x + 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = - \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}$ es la inversa de $f (x) = - \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}$