Trigonometría Ejemplos

$f (x) = \sqrt{w - 1}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \sqrt{w - 1}$ como una ecuación.

$y = \sqrt{w - 1}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$w = \sqrt{y - 1}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt{y - 1} = w$ .

$\sqrt{y - 1} = w$

Paso 3.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{y - 1}}^{2} = w^{2}$

Paso 3.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y - 1}$ como ${(y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = w^{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica ${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = w^{2}$

Paso 3.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = w^{2}$

Paso 3.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(y - 1)}^{1} = w^{2}$

Paso 3.3.2.1.2

Simplifica.

$y - 1 = w^{2}$

Paso 3.4

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = w^{2} + 1$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (w)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (w) = w^{2} + 1$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (w) = w^{2} + 1$ es la inversa de $f (w) = \sqrt{w - 1}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (w)) = w$ y $f (f^{- 1} (w)) = w$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (w))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (w))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\sqrt{w - 1})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{w - 1}) = {(\sqrt{w - 1})}^{2} + 1$

Paso 5.2.3

Reescribe ${\sqrt{w - 1}}^{2}$ como $w - 1$ .

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Paso 5.2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{w - 1}$ como ${(w - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{w - 1}) = {({(w - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

Paso 5.2.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{w - 1}) = {(w - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

Paso 5.2.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{w - 1}) = {(w - 1)}^{\frac{2}{2}} + 1$

Paso 5.2.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt{w - 1}) = {(w - 1)}^{\frac{2}{2}} + 1$

Paso 5.2.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\sqrt{w - 1}) = (w - 1) + 1$

Paso 5.2.3.5

Simplifica.

$f^{- 1} (\sqrt{w - 1}) = w - 1 + 1$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $w - 1 + 1$ .

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Paso 5.2.4.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{w - 1}) = w + 0$

Paso 5.2.4.2

Suma $w$ y $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{w - 1}) = w$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (w))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (w))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (w^{2} + 1)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (w^{2} + 1) = \sqrt{(w^{2} + 1) - 1}$

Paso 5.3.3

Resta $1$ de $1$ .

$f (w^{2} + 1) = \sqrt{w^{2} + 0}$

Paso 5.3.4

Suma $w^{2}$ y $0$ .

$f (w^{2} + 1) = \sqrt{w^{2}}$

Paso 5.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (w^{2} + 1) = w$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (w)) = w$ y $f (f^{- 1} (w)) = w$ , entonces $f^{- 1} (w) = w^{2} + 1$ es la inversa de $f (w) = \sqrt{w - 1}$ .

$f^{- 1} (w) = w^{2} + 1$