Trigonometría Ejemplos

$f (x) = \log_{6} (2 x - 4)$

Paso 1

Escribe $f (x) = \log_{6} (2 x - 4)$ como una ecuación.

$y = \log_{6} (2 x - 4)$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \log_{6} (2 y - 4)$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\log_{6} (2 y - 4) = x$ .

$\log_{6} (2 y - 4) = x$

Paso 3.2

Reescribe $\log_{6} (2 y - 4) = x$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$6^{x} = 2 y - 4$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $2 y - 4 = 6^{x}$ .

$2 y - 4 = 6^{x}$

Paso 3.3.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$2 y = 6^{x} + 4$

Paso 3.3.3

Divide cada término en $2 y = 6^{x} + 4$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.3.3.1

Divide cada término en $2 y = 6^{x} + 4$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{6^{x}}{2} + \frac{4}{2}$

Paso 3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{6^{x}}{2} + \frac{4}{2}$

Paso 3.3.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{6^{x}}{2} + \frac{4}{2}$

Paso 3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.3.1

Divide $4$ por $2$ .

$y = \frac{6^{x}}{2} + 2$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{6^{x}}{2} + 2$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{6^{x}}{2} + 2$ es la inversa de $f (x) = \log_{6} (2 x - 4)$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\log_{6} (2 x - 4))$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{6} (2 x - 4)) = \frac{6^{\log_{6} (2 x - 4)}}{2} + 2$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1.1

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f^{- 1} (\log_{6} (2 x - 4)) = \frac{2 x - 4}{2} + 2$

Paso 5.2.3.1.2

Factoriza $2$ de $2 x - 4$ .

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Paso 5.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$f^{- 1} (\log_{6} (2 x - 4)) = \frac{2 (x) - 4}{2} + 2$

Paso 5.2.3.1.2.2

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$f^{- 1} (\log_{6} (2 x - 4)) = \frac{2 x + 2 \cdot - 2}{2} + 2$

Paso 5.2.3.1.2.3

Factoriza $2$ de $2 x + 2 \cdot - 2$ .

$f^{- 1} (\log_{6} (2 x - 4)) = \frac{2 (x - 2)}{2} + 2$

Paso 5.2.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\log_{6} (2 x - 4)) = \frac{2 (x - 2)}{2} + 2$

Paso 5.2.3.2.2

Divide $x - 2$ por $1$ .

$f^{- 1} (\log_{6} (2 x - 4)) = x - 2 + 2$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $x - 2 + 2$ .

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Paso 5.2.4.1

Suma $- 2$ y $2$ .

$f^{- 1} (\log_{6} (2 x - 4)) = x + 0$

Paso 5.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\log_{6} (2 x - 4)) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{6^{x}}{2} + 2)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{6^{x}}{2} + 2) = \log_{6} (2 (\frac{6^{x}}{2} + 2) - 4)$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{6^{x}}{2} + 2) = \log_{6} (2 (\frac{6^{x}}{2}) + 2 \cdot 2 - 4)$

Paso 5.3.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{6^{x}}{2} + 2) = \log_{6} (2 (\frac{6^{x}}{2}) + 2 \cdot 2 - 4)$

Paso 5.3.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{6^{x}}{2} + 2) = \log_{6} (6^{x} + 2 \cdot 2 - 4)$

Paso 5.3.3.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (\frac{6^{x}}{2} + 2) = \log_{6} (6^{x} + 4 - 4)$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $6^{x} + 4 - 4$ .

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Paso 5.3.4.1

Resta $4$ de $4$ .

$f (\frac{6^{x}}{2} + 2) = \log_{6} (6^{x} + 0)$

Paso 5.3.4.2

Suma $6^{x}$ y $0$ .

$f (\frac{6^{x}}{2} + 2) = \log_{6} (6^{x})$

Paso 5.3.5

Usa las reglas de logaritmos para mover $x$ fuera del exponente.

$f (\frac{6^{x}}{2} + 2) = x \log_{6} (6)$

Paso 5.3.6

El logaritmo en base $6$ de $6$ es $1$ .

$f (\frac{6^{x}}{2} + 2) = x \cdot 1$

Paso 5.3.7

Multiplica $x$ por $1$ .

$f (\frac{6^{x}}{2} + 2) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{6^{x}}{2} + 2$ es la inversa de $f (x) = \log_{6} (2 x - 4)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{6^{x}}{2} + 2$