Trigonometría Ejemplos

$k (x) = \sqrt{2 x^{2} + 5}$

Paso 1

Escribe $k (x) = \sqrt{2 x^{2} + 5}$ como una ecuación.

$y = \sqrt{2 x^{2} + 5}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \sqrt{2 y^{2} + 5}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt{2 y^{2} + 5} = x$ .

$\sqrt{2 y^{2} + 5} = x$

Paso 3.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{2 y^{2} + 5}}^{2} = x^{2}$

Paso 3.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 y^{2} + 5}$ como ${(2 y^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 y^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica ${({(2 y^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(2 y^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 y^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(2 y^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(2 y^{2} + 5)}^{1} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.2

Simplifica.

$2 y^{2} + 5 = x^{2}$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y^{2} = x^{2} - 5$

Paso 3.4.2

Divide cada término en $2 y^{2} = x^{2} - 5$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.4.2.1

Divide cada término en $2 y^{2} = x^{2} - 5$ por $2$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 5}{2}$

Paso 3.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 5}{2}$

Paso 3.4.2.2.1.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 5}{2}$

Paso 3.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y^{2} = \frac{x^{2}}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 3.4.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - \frac{5}{2}}$

Paso 3.4.4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - \frac{5}{2}}$ .

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Paso 3.4.4.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} - 5}{2}}$

Paso 3.4.4.2

Reescribe $\sqrt{\frac{x^{2} - 5}{2}}$ como $\frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{\sqrt{2}}$

Paso 3.4.4.3

Multiplica $\frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 3.4.4.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.4.4.4.1

Multiplica $\frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 3.4.4.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 3.4.4.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 3.4.4.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 3.4.4.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 3.4.4.4.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.4.4.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.4.4.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.4.4.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.4.4.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.4.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.4.4.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 3.4.4.4.6.5

Evalúa el exponente.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{2}$

Paso 3.4.4.5

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{2} - 5) \cdot 2}}{2}$

Paso 3.4.4.6

Reordena los factores en $\pm \frac{\sqrt{(x^{2} - 5) \cdot 2}}{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

Paso 3.4.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.4.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

Paso 3.4.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.