Trigonometría Ejemplos

$h (x) = 4 \log_{5} (x - 6) + 1$

Paso 1

Escribe $h (x) = 4 \log_{5} (x - 6) + 1$ como una ecuación.

$y = 4 \log_{5} (x - 6) + 1$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 4 \log_{5} (y - 6) + 1$

Paso 3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $4 \log_{5} (y - 6) + 1 = x$ .

$4 \log_{5} (y - 6) + 1 = x$

Paso 3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$4 \log_{5} (y - 6) = x - 1$

Paso 3.3

Divide cada término en $4 \log_{5} (y - 6) = x - 1$ por $4$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Divide cada término en $4 \log_{5} (y - 6) = x - 1$ por $4$ .

$\frac{4 \log_{5} (y - 6)}{4} = \frac{x}{4} + \frac{- 1}{4}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 \log_{5} (y - 6)}{4} = \frac{x}{4} + \frac{- 1}{4}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $\log_{5} (y - 6)$ por $1$ .

$\log_{5} (y - 6) = \frac{x}{4} + \frac{- 1}{4}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\log_{5} (y - 6) = \frac{x}{4} - \frac{1}{4}$

Paso 3.4

Reescribe $\log_{5} (y - 6) = \frac{x}{4} - \frac{1}{4}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} = y - 6$

Paso 3.5

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $y - 6 = 5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}}$ .

$y - 6 = 5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}}$

Paso 3.5.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $h^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$h^{- 1} (x) = 5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6$

Paso 5

Verifica si $h^{- 1} (x) = 5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6$ es la inversa de $h (x) = 4 \log_{5} (x - 6) + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $h^{- 1} (h (x)) = x$ y $h (h^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $h^{- 1} (h (x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$h^{- 1} (h (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1)$ mediante la sustitución del valor de $h$ en $h^{- 1}$ .

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = 5^{\frac{4 \log_{5} (x - 6) + 1}{4} - \frac{1}{4}} + 6$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = 5^{\frac{4 \log_{5} (x - 6) + 1 - 1}{4}} + 6$

Paso 5.2.3.2

Combina los términos opuestos en $4 \log_{5} (x - 6) + 1 - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = 5^{\frac{4 \log_{5} (x - 6) + 0}{4}} + 6$

Paso 5.2.3.2.2

Suma $4 \log_{5} (x - 6)$ y $0$ .

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = 5^{\frac{4 \log_{5} (x - 6)}{4}} + 6$

Paso 5.2.3.3

Simplifica $4 \log_{5} (x - 6)$ al mover $4$ dentro del algoritmo.

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = 5^{\frac{\log_{5} ({(x - 6)}^{4})}{4}} + 6$

Paso 5.2.3.4

Expande $\log_{5} ({(x - 6)}^{4})$ ; para ello, mueve $4$ fuera del logaritmo.

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = 5^{\frac{4 \log_{5} (x - 6)}{4}} + 6$

Paso 5.2.3.5

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.5.1

Cancela el factor común.

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = 5^{\frac{4 \log_{5} (x - 6)}{4}} + 6$

Paso 5.2.3.5.2

Divide $\log_{5} (x - 6)$ por $1$ .

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = 5^{\log_{5} (x - 6)} + 6$

Paso 5.2.3.6

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = x - 6 + 6$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $x - 6 + 6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.4.1

Suma $- 6$ y $6$ .

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = x + 0$

Paso 5.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = x$

Paso 5.3

Evalúa $h (h^{- 1} (x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$h (h^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6)$ mediante la sustitución del valor de $h^{- 1}$ en $h$ .

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = 4 \log_{5} ((5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) - 6) + 1$

Paso 5.3.3

Combina los términos opuestos en $4 \log_{5} ((5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) - 6) + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1

Resta $6$ de $6$ .

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = 4 \log_{5} (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 0) + 1$

Paso 5.3.3.2

Suma $5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}}$ y $0$ .

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = 4 \log_{5} (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}}) + 1$

Paso 5.3.4

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.4.1

Usa las reglas de logaritmos para mover $\frac{x}{4} - \frac{1}{4}$ fuera del exponente.

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = 4 ((\frac{x}{4} - \frac{1}{4}) \log_{5} (5)) + 1$

Paso 5.3.4.2

El logaritmo en base $5$ de $5$ es $1$ .

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = 4 ((\frac{x}{4} - \frac{1}{4}) \cdot 1) + 1$

Paso 5.3.4.3

Multiplica $\frac{x}{4} - \frac{1}{4}$ por $1$ .

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = 4 (\frac{x}{4} - \frac{1}{4}) + 1$

Paso 5.3.4.4

Aplica la propiedad distributiva.

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = 4 (\frac{x}{4}) + 4 (- \frac{1}{4}) + 1$

Paso 5.3.4.5

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.4.5.1

Cancela el factor común.

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = 4 (\frac{x}{4}) + 4 (- \frac{1}{4}) + 1$

Paso 5.3.4.5.2

Reescribe la expresión.

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = x + 4 (- \frac{1}{4}) + 1$

Paso 5.3.4.6

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.4.6.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{4}$ al numerador.

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = x + 4 (\frac{- 1}{4}) + 1$

Paso 5.3.4.6.2

Cancela el factor común.

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = x + 4 (\frac{- 1}{4}) + 1$

Paso 5.3.4.6.3

Reescribe la expresión.

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = x - 1 + 1$

Paso 5.3.5

Combina los términos opuestos en $x - 1 + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.5.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = x + 0$

Paso 5.3.5.2

Suma $x$ y $0$ .

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = x$

Paso 5.4

Como $h^{- 1} (h (x)) = x$ y $h (h^{- 1} (x)) = x$ , entonces $h^{- 1} (x) = 5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6$ es la inversa de $h (x) = 4 \log_{5} (x - 6) + 1$ .

$h^{- 1} (x) = 5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6$