Trigonometría Ejemplos

$g (x) = \sqrt{4 x - 2}$

Paso 1

Escribe $g (x) = \sqrt{4 x - 2}$ como una ecuación.

$y = \sqrt{4 x - 2}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \sqrt{4 y - 2}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt{4 y - 2} = x$ .

$\sqrt{4 y - 2} = x$

Paso 3.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{4 y - 2}}^{2} = x^{2}$

Paso 3.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{4 y - 2}$ como ${(4 y - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica ${({(4 y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(4 y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 y - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(4 y - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(4 y - 2)}^{1} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.2

Simplifica.

$4 y - 2 = x^{2}$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$4 y = x^{2} + 2$

Paso 3.4.2

Divide cada término en $4 y = x^{2} + 2$ por $4$ y simplifica.

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Paso 3.4.2.1

Divide cada término en $4 y = x^{2} + 2$ por $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2}{4}$

Paso 3.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2}{4}$

Paso 3.4.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2}{4}$

Paso 3.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.3.1

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 3.4.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (1)}{4}$

Paso 3.4.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Paso 3.4.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Paso 3.4.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}$

Paso 4

Replace $y$ with $g^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$g^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}$

Paso 5

Verifica si $g^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}$ es la inversa de $g (x) = \sqrt{4 x - 2}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $g^{- 1} (g (x)) = x$ y $g (g^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $g^{- 1} (g (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$g^{- 1} (g (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2})$ mediante la sustitución del valor de $g$ en $g^{- 1}$ .

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{{(\sqrt{4 x - 2})}^{2}}{4} + \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $4 x - 2$ .

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Paso 5.2.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $4 x$ .

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{{\sqrt{2 (2 x) - 2}}^{2}}{4} + \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3.1.1.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{{\sqrt{2 (2 x) + 2 (- 1)}}^{2}}{4} + \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3.1.1.3

Factoriza $2$ de $2 (2 x) + 2 (- 1)$ .

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{{\sqrt{2 (2 x - 1)}}^{2}}{4} + \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3.1.2

Reescribe ${\sqrt{2 (2 x - 1)}}^{2}$ como $2 (2 x - 1)$ .

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Paso 5.2.3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 (2 x - 1)}$ como ${(2 (2 x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{{({(2 (2 x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{{(2 (2 x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{{(2 (2 x - 1))}^{\frac{2}{2}}}{4} + \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{{(2 (2 x - 1))}^{\frac{2}{2}}}{4} + \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{2 (2 x - 1)}{4} + \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3.1.2.5

Simplifica.

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{2 (2 x - 1)}{4} + \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{2 (2 x) + 2 \cdot - 1}{4} + \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{4 x + 2 \cdot - 1}{4} + \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3.1.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{4 x - 2}{4} + \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3.1.6

Factoriza $2$ de $4 x - 2$ .

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Paso 5.2.3.1.6.1

Factoriza $2$ de $4 x$ .

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{2 (2 x) - 2}{4} + \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3.1.6.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{2 (2 x) + 2 (- 1)}{4} + \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3.1.6.3

Factoriza $2$ de $2 (2 x) + 2 (- 1)$ .

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{2 (2 x - 1)}{4} + \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{2 (2 x - 1)}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{2 (2 x - 1)}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{2 x - 1}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 5.2.4

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.4.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

Paso 5.2.4.2

Combina los términos opuestos en $2 x - 1 + 1$ .

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Paso 5.2.4.2.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Paso 5.2.4.2.2

Suma $2 x$ y $0$ .

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{2 x}{2}$

Paso 5.2.4.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.4.3.1

Cancela el factor común.

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{2 x}{2}$

Paso 5.2.4.3.2

Divide $x$ por $1$ .

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $g (g^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$g (g^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $g (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2})$ mediante la sustitución del valor de $g^{- 1}$ en $g$ .

$g (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) - 2}$

Paso 5.3.3

Factoriza $2$ de $4 (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) - 2$ .

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Paso 5.3.3.1

Factoriza $2$ de $4 (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2})$ .

$g (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) = \sqrt{2 (2 (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2})) - 2}$

Paso 5.3.3.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$g (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) = \sqrt{2 (2 (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2})) + 2 (- 1)}$

Paso 5.3.3.3

Factoriza $2$ de $2 (2 (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2})) + 2 (- 1)$ .

$g (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) = \sqrt{2 (2 (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) - 1)}$

Paso 5.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$g (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) = \sqrt{2 (2 (\frac{x^{2}}{4}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)}$

Paso 5.3.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.5.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$g (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) = \sqrt{2 (2 (\frac{x^{2}}{2 (2)}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)}$

Paso 5.3.5.2

Cancela el factor común.

$g (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) = \sqrt{2 (2 (\frac{x^{2}}{2 \cdot 2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)}$

Paso 5.3.5.3

Reescribe la expresión.

$g (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} + 2 (\frac{1}{2}) - 1)}$

Paso 5.3.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.6.1

Cancela el factor común.

$g (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} + 2 (\frac{1}{2}) - 1)}$

Paso 5.3.6.2

Reescribe la expresión.

$g (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} + 1 - 1)}$

Paso 5.3.7

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 5.3.7.1

Resta $1$ de $1$ .

$g (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} + 0)}$

Paso 5.3.7.2

Suma $\frac{x^{2}}{2}$ y $0$ .

$g (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2})}$

Paso 5.3.8

Combina $2$ y $\frac{x^{2}}{2}$ .

$g (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{2 x^{2}}{2}}$

Paso 5.3.9

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.3.9.1

Reduce la expresión $\frac{2 x^{2}}{2}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.3.9.1.1

Cancela el factor común.

$g (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{2 x^{2}}{2}}$

Paso 5.3.9.1.2

Reescribe la expresión.

$g (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{x^{2}}{1}}$

Paso 5.3.9.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$g (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) = \sqrt{x^{2}}$

Paso 5.3.10

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$g (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) = x$

Paso 5.4

Como $g^{- 1} (g (x)) = x$ y $g (g^{- 1} (x)) = x$ , entonces $g^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}$ es la inversa de $g (x) = \sqrt{4 x - 2}$ .

$g^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}$