Trigonometría Ejemplos

$f (x) = \ln (x - 1)$

Paso 1

Escribe $f (x) = \ln (x - 1)$ como una ecuación.

$y = \ln (x - 1)$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \ln (y - 1)$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\ln (y - 1) = x$ .

$\ln (y - 1) = x$

Paso 3.2

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (y - 1)} = e^{x}$

Paso 3.3

Reescribe $\ln (y - 1) = x$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x} = y - 1$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Reescribe la ecuación como $y - 1 = e^{x}$ .

$y - 1 = e^{x}$

Paso 3.4.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = e^{x} + 1$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = e^{x} + 1$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = e^{x} + 1$ es la inversa de $f (x) = \ln (x - 1)$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\ln (x - 1))$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (x - 1)) = e^{\ln (x - 1)} + 1$

Paso 5.2.3

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f^{- 1} (\ln (x - 1)) = x - 1 + 1$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $x - 1 + 1$ .

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Paso 5.2.4.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$f^{- 1} (\ln (x - 1)) = x + 0$

Paso 5.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\ln (x - 1)) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (e^{x} + 1)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (e^{x} + 1) = \ln ((e^{x} + 1) - 1)$

Paso 5.3.3

Combina los términos opuestos en $(e^{x} + 1) - 1$ .

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Paso 5.3.3.1

Resta $1$ de $1$ .

$f (e^{x} + 1) = \ln (e^{x} + 0)$

Paso 5.3.3.2

Suma $e^{x}$ y $0$ .

$f (e^{x} + 1) = \ln (e^{x})$

Paso 5.3.4

Usa las reglas de logaritmos para mover $x$ fuera del exponente.

$f (e^{x} + 1) = x \ln (e)$

Paso 5.3.5

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f (e^{x} + 1) = x \cdot 1$

Paso 5.3.6

Multiplica $x$ por $1$ .

$f (e^{x} + 1) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = e^{x} + 1$ es la inversa de $f (x) = \ln (x - 1)$ .

$f^{- 1} (x) = e^{x} + 1$