Trigonometría Ejemplos

$f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$

Paso 1

Escribe $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ como una ecuación.

$y = 7 \arcsin (x^{2})$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 7 \arcsin (y^{2})$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $7 \arcsin (y^{2}) = x$ .

$7 \arcsin (y^{2}) = x$

Paso 3.2

Divide cada término en $7 \arcsin (y^{2}) = x$ por $7$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $7 \arcsin (y^{2}) = x$ por $7$ .

$\frac{7 \arcsin (y^{2})}{7} = \frac{x}{7}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{7 \arcsin (y^{2})}{7} = \frac{x}{7}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $\arcsin (y^{2})$ por $1$ .

$\arcsin (y^{2}) = \frac{x}{7}$

Paso 3.3

Calcula la inversa del arcoseno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior del arcoseno.

$y^{2} = \sin (\frac{x}{7})$

Paso 3.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

Paso 3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

Paso 3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

Paso 3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ es la inversa de $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ .

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Paso 5.1

El dominio de la inversa es el rango de la función original y viceversa. Obtén el dominio y el rango de $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ y $f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ y compáralos.

Paso 5.2

Obtén el rango de $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ .

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Paso 5.2.1

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[- \frac{7 π}{2}, \frac{7 π}{2}]$

Paso 5.3

Find the domain of the inverse.

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Paso 5.3.1

Obtén el dominio de $\sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ .

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Paso 5.3.1.1

Establece el radicando en $\sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$\sin (\frac{x}{7}) \geq 0$

Paso 5.3.1.2

Resuelve $x$

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Paso 5.3.1.2.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$\frac{x}{7} \geq \arcsin (0)$

Paso 5.3.1.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1.2.2.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$\frac{x}{7} \geq 0$

Paso 5.3.1.2.3

Multiplica ambos lados por $7$ .

$\frac{x}{7} \cdot 7 \geq 0 \cdot 7$

Paso 5.3.1.2.4

Simplifica.

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Paso 5.3.1.2.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.1.2.4.1.1

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 5.3.1.2.4.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x}{7} \cdot 7 \geq 0 \cdot 7$

Paso 5.3.1.2.4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x \geq 0 \cdot 7$

Paso 5.3.1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1.2.4.2.1

Multiplica $0$ por $7$ .

$x \geq 0$

Paso 5.3.1.2.5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$\frac{x}{7} = π - 0$

Paso 5.3.1.2.6

Resuelve $x$

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Paso 5.3.1.2.6.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $7$ .

$7 \frac{x}{7} = 7 (π - 0)$

Paso 5.3.1.2.6.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 5.3.1.2.6.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.1.2.6.2.1.1

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 5.3.1.2.6.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$7 \frac{x}{7} = 7 (π - 0)$

Paso 5.3.1.2.6.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 7 (π - 0)$

Paso 5.3.1.2.6.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1.2.6.2.2.1

Resta $0$ de $π$ .

$x = 7 π$

Paso 5.3.1.2.7

Obtén el período de $\sin (\frac{x}{7})$ .

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Paso 5.3.1.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 5.3.1.2.7.2

Reemplaza $b$ con $\frac{1}{7}$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{7} |}$

Paso 5.3.1.2.7.3

$\frac{1}{7}$ es aproximadamente $0.\overline{142857}$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{7}}$

Paso 5.3.1.2.7.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π \cdot 7$

Paso 5.3.1.2.7.5

Multiplica $7$ por $2$ .

$14 π$

Paso 5.3.1.2.8

El período de la función $\sin (\frac{x}{7})$ es $14 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $14 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 14 π n, 7 π + 14 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5.3.1.2.9

Consolida las respuestas.

$x = 7 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5.3.1.2.10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$0 < x < 7 π$

$7 π < x < 14 π$

Paso 5.3.1.2.11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 5.3.1.2.11.1

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 7 π$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.3.1.2.11.1.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 7 π$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 5.3.1.2.11.1.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$\sin (\frac{2}{7}) \geq 0$

Paso 5.3.1.2.11.1.3

$0.28184285$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 5.3.1.2.11.2

Prueba un valor en el intervalo $7 π < x < 14 π$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.3.1.2.11.2.1

Elije un valor en el intervalo $7 π < x < 14 π$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 24$

Paso 5.3.1.2.11.2.2

Reemplaza $x$ con $24$ en la desigualdad original.

$\sin (\frac{24}{7}) \geq 0$

Paso 5.3.1.2.11.2.3

$- 0.28305585$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 5.3.1.2.11.3

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$0 < x < 7 π$ Verdadero

$7 π < x < 14 π$ Falso

$0 < x < 7 π$ Verdadero

$7 π < x < 14 π$ Falso

Paso 5.3.1.2.12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$0 + 14 π n \leq x \leq 7 π + 14 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5.3.1.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

${x | x = 0 + 14 π n, x = 7 π + 14 π n}$ $n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5.3.2

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Paso 5.3.2.1

La unión consiste en todos los elementos contenidos en cada intervalo.

No hay solución

Paso 5.4

Como el dominio de $f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ no es igual al rango de $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ , entonces $f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ no es una inversa de $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ .

No hay una inversa

Paso 6