Trigonometría Ejemplos

$f (x) = 3 \cos (2 x + 3)$

Paso 1

Escribe $f (x) = 3 \cos (2 x + 3)$ como una ecuación.

$y = 3 \cos (2 x + 3)$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 3 \cos (2 y + 3)$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $3 \cos (2 y + 3) = x$ .

$3 \cos (2 y + 3) = x$

Paso 3.2

Divide cada término en $3 \cos (2 y + 3) = x$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $3 \cos (2 y + 3) = x$ por $3$ .

$\frac{3 \cos (2 y + 3)}{3} = \frac{x}{3}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cos (2 y + 3)}{3} = \frac{x}{3}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $\cos (2 y + 3)$ por $1$ .

$\cos (2 y + 3) = \frac{x}{3}$

Paso 3.3

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior del coseno.

$2 y + 3 = \arccos (\frac{x}{3})$

Paso 3.4

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y = \arccos (\frac{x}{3}) - 3$

Paso 3.5

Divide cada término en $2 y = \arccos (\frac{x}{3}) - 3$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.5.1

Divide cada término en $2 y = \arccos (\frac{x}{3}) - 3$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} + \frac{- 3}{2}$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} + \frac{- 3}{2}$

Paso 3.5.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} + \frac{- 3}{2}$

Paso 3.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2}$ es la inversa de $f (x) = 3 \cos (2 x + 3)$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (3 \cos (2 x + 3))$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 \cos (2 x + 3)) = \frac{\arccos (\frac{3 \cos (2 x + 3)}{3})}{2} - \frac{3}{2}$

Paso 5.2.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.3.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (3 \cos (2 x + 3)) = \frac{\arccos (\frac{3 \cos (2 x + 3)}{3})}{2} - \frac{3}{2}$

Paso 5.2.3.2

Divide $\cos (2 x + 3)$ por $1$ .

$f^{- 1} (3 \cos (2 x + 3)) = \frac{\arccos (\cos (2 x + 3))}{2} - \frac{3}{2}$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2}) = 3 \cos (2 (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2}) + 3)$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2}) = 3 \cos (2 (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2}) + 2 (- \frac{3}{2}) + 3)$

Paso 5.3.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2}) = 3 \cos (2 (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2}) + 2 (- \frac{3}{2}) + 3)$

Paso 5.3.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2}) = 3 \cos (\arccos (\frac{x}{3}) + 2 (- \frac{3}{2}) + 3)$

Paso 5.3.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{2}$ al numerador.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2}) = 3 \cos (\arccos (\frac{x}{3}) + 2 (\frac{- 3}{2}) + 3)$

Paso 5.3.3.3.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2}) = 3 \cos (\arccos (\frac{x}{3}) + 2 (\frac{- 3}{2}) + 3)$

Paso 5.3.3.3.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2}) = 3 \cos (\arccos (\frac{x}{3}) - 3 + 3)$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $\arccos (\frac{x}{3}) - 3 + 3$ .

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Paso 5.3.4.1

Suma $- 3$ y $3$ .

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2}) = 3 \cos (\arccos (\frac{x}{3}) + 0)$

Paso 5.3.4.2

Suma $\arccos (\frac{x}{3})$ y $0$ .

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2}) = 3 \cos (\arccos (\frac{x}{3}))$

Paso 5.3.5

Las funciones coseno y arcocoseno son inversas.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2}) = 3 (\frac{x}{3})$

Paso 5.3.6

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.6.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2}) = 3 (\frac{x}{3})$

Paso 5.3.6.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2}$ es la inversa de $f (x) = 3 \cos (2 x + 3)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2}$