Trigonometría Ejemplos

$f (x) = 3 + \cos (\frac{x}{4})$

Paso 1

Escribe $f (x) = 3 + \cos (\frac{x}{4})$ como una ecuación.

$y = 3 + \cos (\frac{x}{4})$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 3 + \cos (\frac{y}{4})$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $3 + \cos (\frac{y}{4}) = x$ .

$3 + \cos (\frac{y}{4}) = x$

Paso 3.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$\cos (\frac{y}{4}) = x - 3$

Paso 3.3

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior del coseno.

$\frac{y}{4} = \arccos (x - 3)$

Paso 3.4

Multiplica ambos lados de la ecuación por $4$ .

$4 \frac{y}{4} = 4 \arccos (x - 3)$

Paso 3.5

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.5.1.1

Cancela el factor común.

$4 \frac{y}{4} = 4 \arccos (x - 3)$

Paso 3.5.1.2

Reescribe la expresión.

$y = 4 \arccos (x - 3)$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = 4 \arccos (x - 3)$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = 4 \arccos (x - 3)$ es la inversa de $f (x) = 3 + \cos (\frac{x}{4})$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (3 + \cos (\frac{x}{4}))$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 + \cos (\frac{x}{4})) = 4 \arccos ((3 + \cos (\frac{x}{4})) - 3)$

Paso 5.2.3

Combina los términos opuestos en $(3 + \cos (\frac{x}{4})) - 3$ .

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Paso 5.2.3.1

Resta $3$ de $3$ .

$f^{- 1} (3 + \cos (\frac{x}{4})) = 4 \arccos (0 + \cos (\frac{x}{4}))$

Paso 5.2.3.2

Suma $0$ y $\cos (\frac{x}{4})$ .

$f^{- 1} (3 + \cos (\frac{x}{4})) = 4 \arccos (\cos (\frac{x}{4}))$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (4 \arccos (x - 3))$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (4 \arccos (x - 3)) = 3 + \cos (\frac{4 \arccos (x - 3)}{4})$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.3.3.1.1

Cancela el factor común.

$f (4 \arccos (x - 3)) = 3 + \cos (\frac{4 \arccos (x - 3)}{4})$

Paso 5.3.3.1.2

Divide $\arccos (x - 3)$ por $1$ .

$f (4 \arccos (x - 3)) = 3 + \cos (\arccos (x - 3))$

Paso 5.3.3.2

Las funciones coseno y arcocoseno son inversas.

$f (4 \arccos (x - 3)) = 3 + x - 3$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $3 + x - 3$ .

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Paso 5.3.4.1

Resta $3$ de $3$ .

$f (4 \arccos (x - 3)) = x + 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (4 \arccos (x - 3)) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = 4 \arccos (x - 3)$ es la inversa de $f (x) = 3 + \cos (\frac{x}{4})$ .

$f^{- 1} (x) = 4 \arccos (x - 3)$