Trigonometría Ejemplos

$f (x) = 3 x^{2} - 36 x + 115$

Paso 1

Escribe $f (x) = 3 x^{2} - 36 x + 115$ como una ecuación.

$y = 3 x^{2} - 36 x + 115$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 3 y^{2} - 36 y + 115$

Paso 3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $3 y^{2} - 36 y + 115 = x$ .

$3 y^{2} - 36 y + 115 = x$

Paso 3.2

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$3 y^{2} - 36 y + 115 - x = 0$

Paso 3.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.4

Sustituye los valores $a = 3$ , $b = - 36$ y $c = 115 - x$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{36 \pm \sqrt{{(- 36)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (115 - x))}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1.1

Eleva $- 36$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 3 \cdot (115 - x)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.5.1.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 12 \cdot (115 - x)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 12 \cdot 115 - 12 (- x)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.5.1.4

Multiplica $- 12$ por $115$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 1380 - 12 (- x)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.5.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 12$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 1380 + 12 x}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.5.1.6

Resta $1380$ de $1296$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{- 84 + 12 x}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.5.1.7

Factoriza $12$ de $- 84 + 12 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1.7.1

Factoriza $12$ de $- 84$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{12 \cdot - 7 + 12 x}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.5.1.7.2

Factoriza $12$ de $12 \cdot - 7 + 12 x$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{12 (- 7 + x)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.5.1.8

Reescribe $12 (- 7 + x)$ como $2^{2} \cdot (3 (- 7 + x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1.8.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{4 (3) (- 7 + x)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.5.1.8.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (- 7 + x))}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.5.1.8.3

Agrega paréntesis.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (- 7 + x))}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.5.1.9

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{3 (- 7 + x)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.5.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{3 (- 7 + x)}}{6}$

Paso 3.5.3

Simplifica $\frac{36 \pm 2 \sqrt{3 (- 7 + x)}}{6}$ .

$y = \frac{18 \pm \sqrt{3 (- 7 + x)}}{3}$

Paso 3.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.1.1

Eleva $- 36$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 3 \cdot (115 - x)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.6.1.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 12 \cdot (115 - x)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 12 \cdot 115 - 12 (- x)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.6.1.4

Multiplica $- 12$ por $115$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 1380 - 12 (- x)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.6.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 12$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 1380 + 12 x}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.6.1.6

Resta $1380$ de $1296$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{- 84 + 12 x}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.6.1.7

Factoriza $12$ de $- 84 + 12 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.1.7.1

Factoriza $12$ de $- 84$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{12 \cdot - 7 + 12 x}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.6.1.7.2

Factoriza $12$ de $12 \cdot - 7 + 12 x$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{12 (- 7 + x)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.6.1.8

Reescribe $12 (- 7 + x)$ como $2^{2} \cdot (3 (- 7 + x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.1.8.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{4 (3) (- 7 + x)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.6.1.8.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (- 7 + x))}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.6.1.8.3

Agrega paréntesis.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (- 7 + x))}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.6.1.9

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{3 (- 7 + x)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.6.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{3 (- 7 + x)}}{6}$

Paso 3.6.3

Simplifica $\frac{36 \pm 2 \sqrt{3 (- 7 + x)}}{6}$ .

$y = \frac{18 \pm \sqrt{3 (- 7 + x)}}{3}$

Paso 3.6.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{18 + \sqrt{3 (- 7 + x)}}{3}$

Paso 3.7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.1.1

Eleva $- 36$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 3 \cdot (115 - x)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.7.1.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 12 \cdot (115 - x)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.7.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 12 \cdot 115 - 12 (- x)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.7.1.4

Multiplica $- 12$ por $115$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 1380 - 12 (- x)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.7.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 12$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 1380 + 12 x}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.7.1.6

Resta $1380$ de $1296$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{- 84 + 12 x}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.7.1.7

Factoriza $12$ de $- 84 + 12 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.1.7.1

Factoriza $12$ de $- 84$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{12 \cdot - 7 + 12 x}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.7.1.7.2

Factoriza $12$ de $12 \cdot - 7 + 12 x$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{12 (- 7 + x)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.7.1.8

Reescribe $12 (- 7 + x)$ como $2^{2} \cdot (3 (- 7 + x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.1.8.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{4 (3) (- 7 + x)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.7.1.8.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (- 7 + x))}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.7.1.8.3

Agrega paréntesis.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (- 7 + x))}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.7.1.9

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{3 (- 7 + x)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.7.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{3 (- 7 + x)}}{6}$

Paso 3.7.3

Simplifica $\frac{36 \pm 2 \sqrt{3 (- 7 + x)}}{6}$ .

$y = \frac{18 \pm \sqrt{3 (- 7 + x)}}{3}$

Paso 3.7.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{18 - \sqrt{3 (- 7 + x)}}{3}$

Paso 3.8

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = \frac{18 + \sqrt{3 (- 7 + x)}}{3}$

$y = \frac{18 - \sqrt{3 (- 7 + x)}}{3}$

$y = \frac{18 + \sqrt{3 (- 7 + x)}}{3}$

$y = \frac{18 - \sqrt{3 (- 7 + x)}}{3}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{3 (- 7 + x)}}{3}, \frac{18 - \sqrt{3 (- 7 + x)}}{3}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{3 (- 7 + x)}}{3}, \frac{18 - \sqrt{3 (- 7 + x)}}{3}$ es la inversa de $f (x) = 3 x^{2} - 36 x + 115$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

El dominio de la inversa es el rango de la función original y viceversa. Obtén el dominio y el rango de $f (x) = 3 x^{2} - 36 x + 115$ y $f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{3 (- 7 + x)}}{3}, \frac{18 - \sqrt{3 (- 7 + x)}}{3}$ y compáralos.

Paso 5.2

Obtén el rango de $f (x) = 3 x^{2} - 36 x + 115$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[7, \infty)$

Paso 5.3

Obtén el dominio de $\frac{18 + \sqrt{3 (- 7 + x)}}{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Establece el radicando en $\sqrt{3 (- 7 + x)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$3 (- 7 + x) \geq 0$

Paso 5.3.2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1

Divide cada término en $3 (- 7 + x) \geq 0$ por $3$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1.1

Divide cada término en $3 (- 7 + x) \geq 0$ por $3$ .

$\frac{3 (- 7 + x)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Paso 5.3.2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (- 7 + x)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Paso 5.3.2.1.2.1.2

Divide $- 7 + x$ por $1$ .

$- 7 + x \geq \frac{0}{3}$

Paso 5.3.2.1.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1.3.1

Divide $0$ por $3$ .

$- 7 + x \geq 0$

Paso 5.3.2.2

Suma $7$ a ambos lados de la desigualdad.

$x \geq 7$

Paso 5.3.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[7, \infty)$

Paso 5.4

Obtén el dominio de $f (x) = 3 x^{2} - 36 x + 115$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Paso 5.5

Como el dominio de $f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{3 (- 7 + x)}}{3}, \frac{18 - \sqrt{3 (- 7 + x)}}{3}$ es el rango de $f (x) = 3 x^{2} - 36 x + 115$ y el rango de $f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{3 (- 7 + x)}}{3}, \frac{18 - \sqrt{3 (- 7 + x)}}{3}$ es el dominio de $f (x) = 3 x^{2} - 36 x + 115$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{3 (- 7 + x)}}{3}, \frac{18 - \sqrt{3 (- 7 + x)}}{3}$ es la inversa de $f (x) = 3 x^{2} - 36 x + 115$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{3 (- 7 + x)}}{3}, \frac{18 - \sqrt{3 (- 7 + x)}}{3}$

Paso 6