Trigonometría Ejemplos

$f (x) = 1 + \sec (x)$

Paso 1

Escribe $f (x) = 1 + \sec (x)$ como una ecuación.

$y = 1 + \sec (x)$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 1 + \sec (y)$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $1 + \sec (y) = x$ .

$1 + \sec (y) = x$

Paso 3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\sec (y) = x - 1$

Paso 3.3

Calcula la inversa de la secante de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de la secante.

$y = arcsec (x - 1)$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = arcsec (x - 1)$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = arcsec (x - 1)$ es la inversa de $f (x) = 1 + \sec (x)$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (1 + \sec (x))$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (1 + \sec (x)) = arcsec ((1 + \sec (x)) - 1)$

Paso 5.2.3

Combina los términos opuestos en $(1 + \sec (x)) - 1$ .

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Paso 5.2.3.1

Resta $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sec (x)) = arcsec (0 + \sec (x))$

Paso 5.2.3.2

Suma $0$ y $\sec (x)$ .

$f^{- 1} (1 + \sec (x)) = arcsec (\sec (x))$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (arcsec (x - 1))$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (arcsec (x - 1)) = 1 + \sec (arcsec (x - 1))$

Paso 5.3.3

Las funciones secante y arcosecante son inversas.

$f (arcsec (x - 1)) = 1 + x - 1$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $1 + x - 1$ .

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Paso 5.3.4.1

Resta $1$ de $1$ .

$f (arcsec (x - 1)) = x + 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (arcsec (x - 1)) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = arcsec (x - 1)$ es la inversa de $f (x) = 1 + \sec (x)$ .

$f^{- 1} (x) = arcsec (x - 1)$