Trigonometría Ejemplos

$f (x) = 2 \sin (3 x + \frac{9 π}{8})$

Paso 1

Escribe $f (x) = 2 \sin (3 x + \frac{9 π}{8})$ como una ecuación.

$y = 2 \sin (3 x + \frac{9 π}{8})$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 2 \sin (3 y + \frac{9 π}{8})$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $2 \sin (3 y + \frac{9 π}{8}) = x$ .

$2 \sin (3 y + \frac{9 π}{8}) = x$

Paso 3.2

Divide cada término en $2 \sin (3 y + \frac{9 π}{8}) = x$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $2 \sin (3 y + \frac{9 π}{8}) = x$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (3 y + \frac{9 π}{8})}{2} = \frac{x}{2}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sin (3 y + \frac{9 π}{8})}{2} = \frac{x}{2}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $\sin (3 y + \frac{9 π}{8})$ por $1$ .

$\sin (3 y + \frac{9 π}{8}) = \frac{x}{2}$

Paso 3.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de seno.

$3 y + \frac{9 π}{8} = \arcsin (\frac{x}{2})$

Paso 3.4

Resta $\frac{9 π}{8}$ de ambos lados de la ecuación.

$3 y = \arcsin (\frac{x}{2}) - \frac{9 π}{8}$

Paso 3.5

Divide cada término en $3 y = \arcsin (\frac{x}{2}) - \frac{9 π}{8}$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.5.1

Divide cada término en $3 y = \arcsin (\frac{x}{2}) - \frac{9 π}{8}$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} + \frac{- \frac{9 π}{8}}{3}$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} + \frac{- \frac{9 π}{8}}{3}$

Paso 3.5.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} + \frac{- \frac{9 π}{8}}{3}$

Paso 3.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.3.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{9 π}{8} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 3.5.3.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.5.3.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{9 π}{8}$ al numerador.

$y = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} + \frac{- 9 π}{8} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 3.5.3.1.2.2

Factoriza $3$ de $- 9 π$ .

$y = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} + \frac{3 (- 3 π)}{8} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 3.5.3.1.2.3

Cancela el factor común.

$y = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} + \frac{3 (- 3 π)}{8} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 3.5.3.1.2.4

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} + \frac{- 3 π}{8}$

Paso 3.5.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}$ es la inversa de $f (x) = 2 \sin (3 x + \frac{9 π}{8})$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (2 \sin (3 x + \frac{9 π}{8}))$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \sin (3 x + \frac{9 π}{8})) = \frac{\arcsin (\frac{2 \sin (3 x + \frac{9 π}{8})}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}$

Paso 5.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (2 \sin (3 x + \frac{9 π}{8})) = \frac{\arcsin (\frac{2 \sin (3 x + \frac{9 π}{8})}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}$

Paso 5.2.3.2

Divide $\sin (3 x + \frac{9 π}{8})$ por $1$ .

$f^{- 1} (2 \sin (3 x + \frac{9 π}{8})) = \frac{\arcsin (\sin (3 x + \frac{9 π}{8}))}{3} - \frac{3 π}{8}$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) = 2 \sin (3 (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) + \frac{9 π}{8})$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) = 2 \sin (3 (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3}) + 3 (- \frac{3 π}{8}) + \frac{9 π}{8})$

Paso 5.3.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) = 2 \sin (3 (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3}) + 3 (- \frac{3 π}{8}) + \frac{9 π}{8})$

Paso 5.3.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) = 2 \sin (\arcsin (\frac{x}{2}) + 3 (- \frac{3 π}{8}) + \frac{9 π}{8})$

Paso 5.3.3.3

Multiplica $3 (- \frac{3 π}{8})$ .

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Paso 5.3.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) = 2 \sin (\arcsin (\frac{x}{2}) - 3 \frac{3 π}{8} + \frac{9 π}{8})$

Paso 5.3.3.3.2

Combina $- 3$ y $\frac{3 π}{8}$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) = 2 \sin (\arcsin (\frac{x}{2}) + \frac{- 3 (3 π)}{8} + \frac{9 π}{8})$

Paso 5.3.3.3.3

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) = 2 \sin (\arcsin (\frac{x}{2}) + \frac{- 9 π}{8} + \frac{9 π}{8})$

Paso 5.3.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) = 2 \sin (\arcsin (\frac{x}{2}) - \frac{9 π}{8} + \frac{9 π}{8})$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $\arcsin (\frac{x}{2}) - \frac{9 π}{8} + \frac{9 π}{8}$ .

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Paso 5.3.4.1

Suma $- \frac{9 π}{8}$ y $\frac{9 π}{8}$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) = 2 \sin (\arcsin (\frac{x}{2}) + 0)$

Paso 5.3.4.2

Suma $\arcsin (\frac{x}{2})$ y $0$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) = 2 \sin (\arcsin (\frac{x}{2}))$

Paso 5.3.5

Las funciones seno y arcoseno son inversas.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) = 2 (\frac{x}{2})$

Paso 5.3.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.6.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) = 2 (\frac{x}{2})$

Paso 5.3.6.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}$ es la inversa de $f (x) = 2 \sin (3 x + \frac{9 π}{8})$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}$