Trigonometría Ejemplos

$f (x) = 2 \cos (3 x + 2)$

Paso 1

Escribe $f (x) = 2 \cos (3 x + 2)$ como una ecuación.

$y = 2 \cos (3 x + 2)$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 2 \cos (3 y + 2)$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $2 \cos (3 y + 2) = x$ .

$2 \cos (3 y + 2) = x$

Paso 3.2

Divide cada término en $2 \cos (3 y + 2) = x$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $2 \cos (3 y + 2) = x$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (3 y + 2)}{2} = \frac{x}{2}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cos (3 y + 2)}{2} = \frac{x}{2}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $\cos (3 y + 2)$ por $1$ .

$\cos (3 y + 2) = \frac{x}{2}$

Paso 3.3

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior del coseno.

$3 y + 2 = \arccos (\frac{x}{2})$

Paso 3.4

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$3 y = \arccos (\frac{x}{2}) - 2$

Paso 3.5

Divide cada término en $3 y = \arccos (\frac{x}{2}) - 2$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.5.1

Divide cada término en $3 y = \arccos (\frac{x}{2}) - 2$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\arccos (\frac{x}{2})}{3} + \frac{- 2}{3}$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\arccos (\frac{x}{2})}{3} + \frac{- 2}{3}$

Paso 3.5.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\arccos (\frac{x}{2})}{3} + \frac{- 2}{3}$

Paso 3.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{\arccos (\frac{x}{2})}{3} - \frac{2}{3}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (\frac{x}{2})}{3} - \frac{2}{3}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (\frac{x}{2})}{3} - \frac{2}{3}$ es la inversa de $f (x) = 2 \cos (3 x + 2)$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (2 \cos (3 x + 2))$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \cos (3 x + 2)) = \frac{\arccos (\frac{2 \cos (3 x + 2)}{2})}{3} - \frac{2}{3}$

Paso 5.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (2 \cos (3 x + 2)) = \frac{\arccos (\frac{2 \cos (3 x + 2)}{2})}{3} - \frac{2}{3}$

Paso 5.2.3.2

Divide $\cos (3 x + 2)$ por $1$ .

$f^{- 1} (2 \cos (3 x + 2)) = \frac{\arccos (\cos (3 x + 2))}{3} - \frac{2}{3}$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{\arccos (\frac{x}{2})}{3} - \frac{2}{3})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{2})}{3} - \frac{2}{3}) = 2 \cos (3 (\frac{\arccos (\frac{x}{2})}{3} - \frac{2}{3}) + 2)$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{2})}{3} - \frac{2}{3}) = 2 \cos (3 (\frac{\arccos (\frac{x}{2})}{3}) + 3 (- \frac{2}{3}) + 2)$

Paso 5.3.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{2})}{3} - \frac{2}{3}) = 2 \cos (3 (\frac{\arccos (\frac{x}{2})}{3}) + 3 (- \frac{2}{3}) + 2)$

Paso 5.3.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{2})}{3} - \frac{2}{3}) = 2 \cos (\arccos (\frac{x}{2}) + 3 (- \frac{2}{3}) + 2)$

Paso 5.3.3.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.3.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{3}$ al numerador.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{2})}{3} - \frac{2}{3}) = 2 \cos (\arccos (\frac{x}{2}) + 3 (\frac{- 2}{3}) + 2)$

Paso 5.3.3.3.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{2})}{3} - \frac{2}{3}) = 2 \cos (\arccos (\frac{x}{2}) + 3 (\frac{- 2}{3}) + 2)$

Paso 5.3.3.3.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{2})}{3} - \frac{2}{3}) = 2 \cos (\arccos (\frac{x}{2}) - 2 + 2)$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $\arccos (\frac{x}{2}) - 2 + 2$ .

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Paso 5.3.4.1

Suma $- 2$ y $2$ .

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{2})}{3} - \frac{2}{3}) = 2 \cos (\arccos (\frac{x}{2}) + 0)$

Paso 5.3.4.2

Suma $\arccos (\frac{x}{2})$ y $0$ .

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{2})}{3} - \frac{2}{3}) = 2 \cos (\arccos (\frac{x}{2}))$

Paso 5.3.5

Las funciones coseno y arcocoseno son inversas.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{2})}{3} - \frac{2}{3}) = 2 (\frac{x}{2})$

Paso 5.3.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.6.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{2})}{3} - \frac{2}{3}) = 2 (\frac{x}{2})$

Paso 5.3.6.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{2})}{3} - \frac{2}{3}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (\frac{x}{2})}{3} - \frac{2}{3}$ es la inversa de $f (x) = 2 \cos (3 x + 2)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (\frac{x}{2})}{3} - \frac{2}{3}$