Trigonometría Ejemplos

$f (x) = 2 + \cos (\frac{π}{2} x)$

Paso 1

Escribe $f (x) = 2 + \cos (\frac{π}{2} x)$ como una ecuación.

$y = 2 + \cos (\frac{π}{2} x)$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 2 + \cos (\frac{π}{2} y)$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $2 + \cos (\frac{π}{2} y) = x$ .

$2 + \cos (\frac{π}{2} y) = x$

Paso 3.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$\cos (\frac{π}{2} y) = x - 2$

Paso 3.3

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior del coseno.

$\frac{π}{2} y = \arccos (x - 2)$

Paso 3.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.1

Combina $\frac{π}{2}$ y $y$ .

$\frac{π y}{2} = \arccos (x - 2)$

Paso 3.5

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π y}{2} = \frac{2}{π} \arccos (x - 2)$

Paso 3.6

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.6.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.1.1

Simplifica $\frac{2}{π} \cdot \frac{π y}{2}$ .

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Paso 3.6.1.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.6.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π y}{2} = \frac{2}{π} \arccos (x - 2)$

Paso 3.6.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{π} (π y) = \frac{2}{π} \arccos (x - 2)$

Paso 3.6.1.1.2

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 3.6.1.1.2.1

Factoriza $π$ de $π y$ .

$\frac{1}{π} (π (y)) = \frac{2}{π} \arccos (x - 2)$

Paso 3.6.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{π} (π y) = \frac{2}{π} \arccos (x - 2)$

Paso 3.6.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{2}{π} \arccos (x - 2)$

Paso 3.6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.6.2.1

Combina $\frac{2}{π}$ y $\arccos (x - 2)$ .

$y = \frac{2 \arccos (x - 2)}{π}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 \arccos (x - 2)}{π}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{2 \arccos (x - 2)}{π}$ es la inversa de $f (x) = 2 + \cos (\frac{π}{2} x)$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (2 + \cos (\frac{π}{2} x))$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 + \cos (\frac{π}{2} x)) = \frac{2 \arccos ((2 + \cos (\frac{π}{2} x)) - 2)}{π}$

Paso 5.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1

Combina los términos opuestos en $2 + \cos (\frac{π}{2} x) - 2$ .

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Paso 5.2.3.1.1

Resta $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (2 + \cos (\frac{π}{2} x)) = \frac{2 \arccos (0 + \cos (\frac{π}{2} x))}{π}$

Paso 5.2.3.1.2

Suma $0$ y $\cos (\frac{π}{2} x)$ .

$f^{- 1} (2 + \cos (\frac{π}{2} x)) = \frac{2 \arccos (\cos (\frac{π}{2} x))}{π}$

Paso 5.2.3.2

Combina $\frac{π}{2}$ y $x$ .

$f^{- 1} (2 + \cos (\frac{π}{2} x)) = \frac{2 \arccos (\cos (\frac{π x}{2}))}{π}$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = 2 + \cos (\frac{π}{2} \cdot (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}))$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 5.3.3.1.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = 2 + \cos (\frac{π}{2} \cdot \frac{2 \arccos (x - 2)}{π})$

Paso 5.3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = 2 + \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 \arccos (x - 2)))$

Paso 5.3.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $2 \arccos (x - 2)$ .

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = 2 + \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 (\arccos (x - 2))))$

Paso 5.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = 2 + \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 \arccos (x - 2)))$

Paso 5.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = 2 + \cos (\arccos (x - 2))$

Paso 5.3.3.3

Las funciones coseno y arcocoseno son inversas.

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = 2 + x - 2$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $2 + x - 2$ .

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Paso 5.3.4.1

Resta $2$ de $2$ .

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = x + 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{2 \arccos (x - 2)}{π}$ es la inversa de $f (x) = 2 + \cos (\frac{π}{2} x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2 \arccos (x - 2)}{π}$