Trigonometría Ejemplos

$f (x) = 2 e^{x - 2} + 4$

Paso 1

Escribe $f (x) = 2 e^{x - 2} + 4$ como una ecuación.

$y = 2 e^{x - 2} + 4$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 2 e^{y - 2} + 4$

Paso 3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $2 e^{y - 2} + 4 = x$ .

$2 e^{y - 2} + 4 = x$

Paso 3.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$2 e^{y - 2} = x - 4$

Paso 3.3

Divide cada término en $2 e^{y - 2} = x - 4$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Divide cada término en $2 e^{y - 2} = x - 4$ por $2$ .

$\frac{2 e^{y - 2}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 4}{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 e^{y - 2}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 4}{2}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $e^{y - 2}$ por $1$ .

$e^{y - 2} = \frac{x}{2} + \frac{- 4}{2}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.1

Divide $- 4$ por $2$ .

$e^{y - 2} = \frac{x}{2} - 2$

Paso 3.4

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{y - 2}) = \ln (\frac{x}{2} - 2)$

Paso 3.5

Expande el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Expande $\ln (e^{y - 2})$ ; para ello, mueve $y - 2$ fuera del logaritmo.

$(y - 2) \ln (e) = \ln (\frac{x}{2} - 2)$

Paso 3.5.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$(y - 2) \cdot 1 = \ln (\frac{x}{2} - 2)$

Paso 3.5.3

Multiplica $y - 2$ por $1$ .

$y - 2 = \ln (\frac{x}{2} - 2)$

Paso 3.6

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \ln (\frac{x}{2} - 2) + 2$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2} - 2) + 2$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2} - 2) + 2$ es la inversa de $f (x) = 2 e^{x - 2} + 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (\frac{2 e^{x - 2} + 4}{2} - 2) + 2$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1

Cancela el factor común de $2 e^{x - 2} + 4$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $2 e^{x - 2}$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (\frac{2 (e^{x - 2}) + 4}{2} - 2) + 2$

Paso 5.2.3.1.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (\frac{2 (e^{x - 2}) + 2 \cdot 2}{2} - 2) + 2$

Paso 5.2.3.1.3

Factoriza $2$ de $2 (e^{x - 2}) + 2 (2)$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (\frac{2 (e^{x - 2} + 2)}{2} - 2) + 2$

Paso 5.2.3.1.4

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (\frac{2 (e^{x - 2} + 2)}{2 (1)} - 2) + 2$

Paso 5.2.3.1.4.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (\frac{2 (e^{x - 2} + 2)}{2 \cdot 1} - 2) + 2$

Paso 5.2.3.1.4.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (\frac{e^{x - 2} + 2}{1} - 2) + 2$

Paso 5.2.3.1.4.4

Divide $e^{x - 2} + 2$ por $1$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (e^{x - 2} + 2 - 2) + 2$

Paso 5.2.3.2

Combina los términos opuestos en $e^{x - 2} + 2 - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.2.1

Resta $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (e^{x - 2} + 0) + 2$

Paso 5.2.3.2.2

Suma $e^{x - 2}$ y $0$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (e^{x - 2}) + 2$

Paso 5.2.3.3

Usa las reglas de logaritmos para mover $x - 2$ fuera del exponente.

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = (x - 2) \ln (e) + 2$

Paso 5.2.3.4

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = (x - 2) \cdot 1 + 2$

Paso 5.2.3.5

Multiplica $x - 2$ por $1$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = x - 2 + 2$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $x - 2 + 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.4.1

Suma $- 2$ y $2$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = x + 0$

Paso 5.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = 2 e^{(\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) - 2} + 4$

Paso 5.3.3

Combina los términos opuestos en $2 e^{(\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) - 2} + 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1

Resta $2$ de $2$ .

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = 2 e^{\ln (\frac{x}{2} - 2) + 0} + 4$

Paso 5.3.3.2

Suma $\ln (\frac{x}{2} - 2)$ y $0$ .

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = 2 e^{\ln (\frac{x}{2} - 2)} + 4$

Paso 5.3.4

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.4.1

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = 2 (\frac{x}{2} - 2) + 4$

Paso 5.3.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 \cdot - 2 + 4$

Paso 5.3.4.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.4.3.1

Cancela el factor común.

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 \cdot - 2 + 4$

Paso 5.3.4.3.2

Reescribe la expresión.

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = x + 2 \cdot - 2 + 4$

Paso 5.3.4.4

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = x - 4 + 4$

Paso 5.3.5

Combina los términos opuestos en $x - 4 + 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.5.1

Suma $- 4$ y $4$ .

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = x + 0$

Paso 5.3.5.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2} - 2) + 2$ es la inversa de $f (x) = 2 e^{x - 2} + 4$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2} - 2) + 2$