Trigonometría Ejemplos

$y = \arcsin (\frac{x + 3}{4})$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = \arcsin (\frac{y + 3}{4})$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $\arcsin (\frac{y + 3}{4}) = x$ .

$\arcsin (\frac{y + 3}{4}) = x$

Paso 2.2

Calcula la inversa del arcoseno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior del arcoseno.

$\frac{y + 3}{4} = \sin (x)$

Paso 2.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.1

Divide la fracción $\frac{y + 3}{4}$ en dos fracciones.

$\frac{y}{4} + \frac{3}{4} = \sin (x)$

Paso 2.4

Resta $\frac{3}{4}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{y}{4} = \sin (x) - \frac{3}{4}$

Paso 2.5

Multiplica ambos lados de la ecuación por $4$ .

$4 \frac{y}{4} = 4 (\sin (x) - \frac{3}{4})$

Paso 2.6

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 2.6.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.6.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.6.1.1.1

Cancela el factor común.

$4 \frac{y}{4} = 4 (\sin (x) - \frac{3}{4})$

Paso 2.6.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = 4 (\sin (x) - \frac{3}{4})$

Paso 2.6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.6.2.1

Simplifica $4 (\sin (x) - \frac{3}{4})$ .

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Paso 2.6.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 4 \sin (x) + 4 (- \frac{3}{4})$

Paso 2.6.2.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.6.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{4}$ al numerador.

$y = 4 \sin (x) + 4 (\frac{- 3}{4})$

Paso 2.6.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = 4 \sin (x) + 4 (\frac{- 3}{4})$

Paso 2.6.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = 4 \sin (x) - 3$

Paso 2.7

Resta $\frac{3}{4}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{y}{4} = \sin (x) - \frac{3}{4}$

Paso 2.8

Multiplica ambos lados de la ecuación por $4$ .

$4 \frac{y}{4} = 4 (\sin (x) - \frac{3}{4})$

Paso 2.9

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 2.9.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.9.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.9.1.1.1

Cancela el factor común.

$4 \frac{y}{4} = 4 (\sin (x) - \frac{3}{4})$

Paso 2.9.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = 4 (\sin (x) - \frac{3}{4})$

Paso 2.9.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.9.2.1

Simplifica $4 (\sin (x) - \frac{3}{4})$ .

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Paso 2.9.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 4 \sin (x) + 4 (- \frac{3}{4})$

Paso 2.9.2.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.9.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{4}$ al numerador.

$y = 4 \sin (x) + 4 (\frac{- 3}{4})$

Paso 2.9.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = 4 \sin (x) + 4 (\frac{- 3}{4})$

Paso 2.9.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = 4 \sin (x) - 3$

Paso 3

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = 4 \sin (x) - 3$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = 4 \sin (x) - 3$ es la inversa de $f (x) = \arcsin (\frac{x + 3}{4})$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\arcsin (\frac{x + 3}{4}))$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\arcsin (\frac{x + 3}{4})) = 4 \sin (\arcsin (\frac{x + 3}{4})) - 3$

Paso 4.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.3.1

Las funciones seno y arcoseno son inversas.

$f^{- 1} (\arcsin (\frac{x + 3}{4})) = 4 (\frac{x + 3}{4}) - 3$

Paso 4.2.3.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.2.3.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\arcsin (\frac{x + 3}{4})) = 4 (\frac{x + 3}{4}) - 3$

Paso 4.2.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\arcsin (\frac{x + 3}{4})) = x + 3 - 3$

Paso 4.2.4

Combina los términos opuestos en $x + 3 - 3$ .

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Paso 4.2.4.1

Resta $3$ de $3$ .

$f^{- 1} (\arcsin (\frac{x + 3}{4})) = x + 0$

Paso 4.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\arcsin (\frac{x + 3}{4})) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (4 \sin (x) - 3)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (4 \sin (x) - 3) = \arcsin (\frac{(4 \sin (x) - 3) + 3}{4})$

Paso 4.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.3.1

Suma $- 3$ y $3$ .

$f (4 \sin (x) - 3) = \arcsin (\frac{4 \sin (x) + 0}{4})$

Paso 4.3.3.2

Suma $4 \sin (x)$ y $0$ .

$f (4 \sin (x) - 3) = \arcsin (\frac{4 \sin (x)}{4})$

Paso 4.3.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (4 \sin (x) - 3) = \arcsin (\frac{4 \sin (x)}{4})$

Paso 4.3.4.2

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$f (4 \sin (x) - 3) = \arcsin (\sin (x))$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = 4 \sin (x) - 3$ es la inversa de $f (x) = \arcsin (\frac{x + 3}{4})$ .

$f^{- 1} (x) = 4 \sin (x) - 3$