Trigonometría Ejemplos

$y = \frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} x)$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = \frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} y)$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} y) = x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} y) = x$

Paso 2.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \sin (\frac{1}{2} y)) = 3 x$

Paso 2.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.1

Simplifica $3 (\frac{1}{3} \sin (\frac{1}{2} y))$ .

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Paso 2.3.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $\sin (\frac{1}{2} y)$ .

$3 \frac{\sin (\frac{1}{2} y)}{3} = 3 x$

Paso 2.3.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{\sin (\frac{1}{2} y)}{3} = 3 x$

Paso 2.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\sin (\frac{1}{2} y) = 3 x$

Paso 2.4

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de seno.

$\frac{1}{2} y = \arcsin (3 x)$

Paso 2.5

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y$ .

$\frac{y}{2} = \arcsin (3 x)$

Paso 2.6

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 \arcsin (3 x)$

Paso 2.7

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.7.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.7.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{y}{2} = 2 \arcsin (3 x)$

Paso 2.7.1.2

Reescribe la expresión.

$y = 2 \arcsin (3 x)$

Paso 3

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = 2 \arcsin (3 x)$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = 2 \arcsin (3 x)$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} x)$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} x))$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} x)) = 2 \arcsin (3 (\frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} x)))$

Paso 4.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} x)) = 2 \arcsin (3 (\frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{x}{2})))$

Paso 4.2.4

Combina $\frac{1}{3}$ y $\sin (\frac{x}{2})$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} x)) = 2 \arcsin (3 (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{3}))$

Paso 4.2.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.5.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} x)) = 2 \arcsin (3 (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{3}))$

Paso 4.2.5.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} x)) = 2 \arcsin (\sin (\frac{x}{2}))$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (2 \arcsin (3 x))$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (2 \arcsin (3 x)) = \frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (3 x)))$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.3.1

Factoriza $2$ de $2 \arcsin (3 x)$ .

$f (2 \arcsin (3 x)) = \frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} \cdot (2 (\arcsin (3 x))))$

Paso 4.3.3.2

Cancela el factor común.

$f (2 \arcsin (3 x)) = \frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (3 x)))$

Paso 4.3.3.3

Reescribe la expresión.

$f (2 \arcsin (3 x)) = \frac{1}{3} \cdot \sin (\arcsin (3 x))$

Paso 4.3.4

Las funciones seno y arcoseno son inversas.

$f (2 \arcsin (3 x)) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

Paso 4.3.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.3.5.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$f (2 \arcsin (3 x)) = \frac{1}{3} \cdot (3 (x))$

Paso 4.3.5.2

Cancela el factor común.

$f (2 \arcsin (3 x)) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

Paso 4.3.5.3

Reescribe la expresión.

$f (2 \arcsin (3 x)) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = 2 \arcsin (3 x)$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} x)$ .

$f^{- 1} (x) = 2 \arcsin (3 x)$