Trigonometría Ejemplos

$y = \log_{4} (4 x)$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = \log_{4} (4 y)$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $\log_{4} (4 y) = x$ .

$\log_{4} (4 y) = x$

Paso 2.2

Reescribe $\log_{4} (4 y) = x$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$4^{x} = 4 y$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Reescribe la ecuación como $4 y = 4^{x}$ .

$4 y = 4^{x}$

Paso 2.3.2

Divide cada término en $4 y = 4^{x}$ por $4$ y simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Divide cada término en $4 y = 4^{x}$ por $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{4^{x}}{4}$

Paso 2.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y}{4} = \frac{4^{x}}{4}$

Paso 2.3.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{4^{x}}{4}$

Paso 2.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.3.1

Cancela el factor común de $4^{x}$ y $4$ .

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Paso 2.3.2.3.1.1

Factoriza $4$ de $4^{x}$ .

$y = \frac{4 \cdot 4^{x - 1}}{4}$

Paso 2.3.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.3.1.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$y = \frac{4 \cdot 4^{x - 1}}{4 (1)}$

Paso 2.3.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{4 \cdot 4^{x - 1}}{4 \cdot 1}$

Paso 2.3.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{4^{x - 1}}{1}$

Paso 2.3.2.3.1.2.4

Divide $4^{x - 1}$ por $1$ .

$y = 4^{x - 1}$

Paso 3

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = 4^{x - 1}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = 4^{x - 1}$ es la inversa de $f (x) = \log_{4} (4 x)$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\log_{4} (4 x))$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{4} (4 x)) = 4^{(\log_{4} (4 x)) - 1}$

Paso 4.2.3

Elimina los paréntesis.

$f^{- 1} (\log_{4} (4 x)) = 4^{\log_{4} (4 x) - 1}$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (4^{x - 1})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (4^{x - 1}) = \log_{4} (4 (4^{x - 1}))$

Paso 4.3.3

Reescribe $\log_{4} (4 (4^{x - 1}))$ como $\log_{4} (4) + \log_{4} (4^{x - 1})$ .

$f (4^{x - 1}) = \log_{4} (4) + \log_{4} (4^{x - 1})$

Paso 4.3.4

Usa las reglas de logaritmos para mover $x - 1$ fuera del exponente.

$f (4^{x - 1}) = \log_{4} (4) + (x - 1) \log_{4} (4)$

Paso 4.3.5

El logaritmo en base $4$ de $4$ es $1$ .

$f (4^{x - 1}) = \log_{4} (4) + (x - 1) \cdot 1$

Paso 4.3.6

Multiplica $x - 1$ por $1$ .

$f (4^{x - 1}) = \log_{4} (4) + x - 1$

Paso 4.3.7

El logaritmo en base $4$ de $4$ es $1$ .

$f (4^{x - 1}) = 1 + x - 1$

Paso 4.3.8

Combina los términos opuestos en $1 + x - 1$ .

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Paso 4.3.8.1

Resta $1$ de $1$ .

$f (4^{x - 1}) = x + 0$

Paso 4.3.8.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (4^{x - 1}) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = 4^{x - 1}$ es la inversa de $f (x) = \log_{4} (4 x)$ .

$f^{- 1} (x) = 4^{x - 1}$