Trigonometría Ejemplos

$y = \log_{2} (x + 1)$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = \log_{2} (y + 1)$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $\log_{2} (y + 1) = x$ .

$\log_{2} (y + 1) = x$

Paso 2.2

Reescribe $\log_{2} (y + 1) = x$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{x} = y + 1$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Reescribe la ecuación como $y + 1 = 2^{x}$ .

$y + 1 = 2^{x}$

Paso 2.3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y = 2^{x} - 1$

Paso 3

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = 2^{x} - 1$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = 2^{x} - 1$ es la inversa de $f (x) = \log_{2} (x + 1)$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\log_{2} (x + 1))$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (x + 1)) = 2^{\log_{2} (x + 1)} - 1$

Paso 4.2.3

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f^{- 1} (\log_{2} (x + 1)) = x + 1 - 1$

Paso 4.2.4

Combina los términos opuestos en $x + 1 - 1$ .

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Paso 4.2.4.1

Resta $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (x + 1)) = x + 0$

Paso 4.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (x + 1)) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (2^{x} - 1)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (2^{x} - 1) = \log_{2} ((2^{x} - 1) + 1)$

Paso 4.3.3

Combina los términos opuestos en $(2^{x} - 1) + 1$ .

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Paso 4.3.3.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$f (2^{x} - 1) = \log_{2} (2^{x} + 0)$

Paso 4.3.3.2

Suma $2^{x}$ y $0$ .

$f (2^{x} - 1) = \log_{2} (2^{x})$

Paso 4.3.4

Usa las reglas de logaritmos para mover $x$ fuera del exponente.

$f (2^{x} - 1) = x \log_{2} (2)$

Paso 4.3.5

El logaritmo en base $2$ de $2$ es $1$ .

$f (2^{x} - 1) = x \cdot 1$

Paso 4.3.6

Multiplica $x$ por $1$ .

$f (2^{x} - 1) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = 2^{x} - 1$ es la inversa de $f (x) = \log_{2} (x + 1)$ .

$f^{- 1} (x) = 2^{x} - 1$