Trigonometría Ejemplos

$y = \log_{2} (2 x - 3)$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = \log_{2} (2 y - 3)$

Paso 2

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $\log_{2} (2 y - 3) = x$ .

$\log_{2} (2 y - 3) = x$

Paso 2.2

Reescribe $\log_{2} (2 y - 3) = x$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{x} = 2 y - 3$

Paso 2.3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Reescribe la ecuación como $2 y - 3 = 2^{x}$ .

$2 y - 3 = 2^{x}$

Paso 2.3.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$2 y = 2^{x} + 3$

Paso 2.3.3

Divide cada término en $2 y = 2^{x} + 3$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.1

Divide cada término en $2 y = 2^{x} + 3$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{2^{x}}{2} + \frac{3}{2}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{2^{x}}{2} + \frac{3}{2}$

Paso 2.3.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{2^{x}}{2} + \frac{3}{2}$

Paso 2.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.3.1

Cancela el factor común de $2^{x}$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.3.1.1

Factoriza $2$ de $2^{x}$ .

$y = \frac{2 \cdot 2^{x - 1}}{2} + \frac{3}{2}$

Paso 2.3.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y = \frac{2 \cdot 2^{x - 1}}{2 (1)} + \frac{3}{2}$

Paso 2.3.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{2 \cdot 2^{x - 1}}{2 \cdot 1} + \frac{3}{2}$

Paso 2.3.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{2^{x - 1}}{1} + \frac{3}{2}$

Paso 2.3.3.3.1.2.4

Divide $2^{x - 1}$ por $1$ .

$y = 2^{x - 1} + \frac{3}{2}$

Paso 2.3.3.3.2

Para escribir $2^{x - 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = 2^{x - 1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}$

Paso 2.3.3.3.3

Combina $2^{x - 1}$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{2^{x - 1} \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}$

Paso 2.3.3.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{2^{x - 1} \cdot 2 + 3}{2}$

Paso 2.3.3.3.5

Multiplica $2^{x - 1}$ por $2$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.3.5.1

Multiplica $2^{x - 1}$ por $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.3.5.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{2^{x - 1} \cdot 2^{1} + 3}{2}$

Paso 2.3.3.3.5.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{2^{x - 1 + 1} + 3}{2}$

Paso 2.3.3.3.5.2

Combina los términos opuestos en $x - 1 + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.3.5.2.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$y = \frac{2^{x + 0} + 3}{2}$

Paso 2.3.3.3.5.2.2

Suma $x$ y $0$ .

$y = \frac{2^{x} + 3}{2}$

Paso 3

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{2^{x} + 3}{2}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{2^{x} + 3}{2}$ es la inversa de $f (x) = \log_{2} (2 x - 3)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3))$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3)) = \frac{2^{\log_{2} (2 x - 3)} + 3}{2}$

Paso 4.2.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.3.1

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3)) = \frac{2 x - 3 + 3}{2}$

Paso 4.2.3.2

Suma $- 3$ y $3$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3)) = \frac{2 x + 0}{2}$

Paso 4.2.3.3

Suma $2 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3)) = \frac{2 x}{2}$

Paso 4.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3)) = \frac{2 x}{2}$

Paso 4.2.4.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3)) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\frac{2^{x} + 3}{2})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = \log_{2} (2 (\frac{2^{x} + 3}{2}) - 3)$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.3.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = \log_{2} (2 (\frac{2^{x} + 3}{2}) - 3)$

Paso 4.3.3.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = \log_{2} (2^{x} + 3 - 3)$

Paso 4.3.4

Combina los términos opuestos en $2^{x} + 3 - 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.4.1

Resta $3$ de $3$ .

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = \log_{2} (2^{x} + 0)$

Paso 4.3.4.2

Suma $2^{x}$ y $0$ .

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = \log_{2} (2^{x})$

Paso 4.3.5

Usa las reglas de logaritmos para mover $x$ fuera del exponente.

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = x \log_{2} (2)$

Paso 4.3.6

El logaritmo en base $2$ de $2$ es $1$ .

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = x \cdot 1$

Paso 4.3.7

Multiplica $x$ por $1$ .

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{2^{x} + 3}{2}$ es la inversa de $f (x) = \log_{2} (2 x - 3)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2^{x} + 3}{2}$