Trigonometría Ejemplos

$y = \frac{1}{3^{x}}$

Step 1

Intercambia las variables.

$x = \frac{1}{3^{y}}$

Step 2

Resuelve $y$

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Reescribe la ecuación como $\frac{1}{3^{y}} = x$ .

$\frac{1}{3^{y}} = x$

Multiplica ambos lados por $3^{y}$ .

$\frac{1}{3^{y}} \cdot 3^{y} = x \cdot 3^{y}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $3^{y}$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{1}{3^{y}} \cdot 3^{y} = x \cdot 3^{y}$

Reescribe la expresión.

$1 = x \cdot 3^{y}$

Resuelve $y$

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Reescribe la ecuación como $x \cdot 3^{y} = 1$ .

$x \cdot 3^{y} = 1$

Divide cada término en $(x \cdot 3^{y}) = 1$ por $x$ y simplifica.

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Divide cada término en $(x \cdot 3^{y}) = 1$ por $x$ .

$\frac{(x \cdot 3^{y})}{x} = \frac{1}{x}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $x$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{x \cdot 3^{y}}{x} = \frac{1}{x}$

Divide $3^{y}$ por $1$ .

$3^{y} = \frac{1}{x}$

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (3^{y}) = \ln (\frac{1}{x})$

Expande $\ln (3^{y})$ ; para ello, mueve $y$ fuera del logaritmo.

$y \ln (3) = \ln (\frac{1}{x})$

Divide cada término en $y \ln (3) = \ln (\frac{1}{x})$ por $\ln (3)$ y simplifica.

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Divide cada término en $y \ln (3) = \ln (\frac{1}{x})$ por $\ln (3)$ .

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $\ln (3)$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$

Step 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{3^{x}}$ .

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Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Evalúa $f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}}) = \frac{\ln (\frac{1}{\frac{1}{3^{x}}})}{\ln (3)}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}}) = \frac{\ln (1 \cdot 3^{x})}{\ln (3)}$

Multiplica $3^{x}$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}}) = \frac{\ln (3^{x})}{\ln (3)}$

Expande $\ln (3^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}}) = \frac{x \ln (3)}{\ln (3)}$

Cancela el factor común de $\ln (3)$ .

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Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}}) = \frac{x \ln (3)}{\ln (3)}$

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}}) = x$

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Evalúa $f (\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}) = \frac{1}{3^{\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}}}$

Simplifica el denominador.

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Usa la regla de cambio de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}) = \frac{1}{3^{\log_{3} (\frac{1}{x})}}$

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}) = 1 x$

Multiplica $x$ por $1$ .

$f (\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}) = x$

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{3^{x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$