Trigonometría Ejemplos

$y = - \frac{1}{5} \cdot \sin (\frac{x}{4})$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = - \frac{1}{5} \cdot \sin (\frac{y}{4})$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{1}{5} \cdot \sin (\frac{y}{4}) = x$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \sin (\frac{y}{4}) = x$

Paso 2.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- 5$ .

$- 5 (- \frac{1}{5} \sin (\frac{y}{4})) = - 5 x$

Paso 2.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.1

Simplifica $- 5 (- \frac{1}{5} \sin (\frac{y}{4}))$ .

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Paso 2.3.1.1

Combina $\sin (\frac{y}{4})$ y $\frac{1}{5}$ .

$- 5 (- \frac{\sin (\frac{y}{4})}{5}) = - 5 x$

Paso 2.3.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.3.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sin (\frac{y}{4})}{5}$ al numerador.

$- 5 \frac{- \sin (\frac{y}{4})}{5} = - 5 x$

Paso 2.3.1.2.2

Factoriza $5$ de $- 5$ .

$5 (- 1) \frac{- \sin (\frac{y}{4})}{5} = - 5 x$

Paso 2.3.1.2.3

Cancela el factor común.

$5 \cdot - 1 \frac{- \sin (\frac{y}{4})}{5} = - 5 x$

Paso 2.3.1.2.4

Reescribe la expresión.

$- - \sin (\frac{y}{4}) = - 5 x$

Paso 2.3.1.3

Multiplica.

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Paso 2.3.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \sin (\frac{y}{4}) = - 5 x$

Paso 2.3.1.3.2

Multiplica $\sin (\frac{y}{4})$ por $1$ .

$\sin (\frac{y}{4}) = - 5 x$

Paso 2.4

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de seno.

$\frac{y}{4} = \arcsin (- 5 x)$

Paso 2.5

Multiplica ambos lados de la ecuación por $4$ .

$4 \frac{y}{4} = 4 \arcsin (- 5 x)$

Paso 2.6

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.6.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.6.1.1

Cancela el factor común.

$4 \frac{y}{4} = 4 \arcsin (- 5 x)$

Paso 2.6.1.2

Reescribe la expresión.

$y = 4 \arcsin (- 5 x)$

Paso 3

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = 4 \arcsin (- 5 x)$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = 4 \arcsin (- 5 x)$ es la inversa de $f (x) = - \frac{1}{5} \cdot \sin (\frac{x}{4})$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (- \frac{1}{5} \cdot \sin (\frac{x}{4}))$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} \cdot \sin (\frac{x}{4})) = 4 \arcsin (- 5 (- \frac{1}{5} \cdot \sin (\frac{x}{4})))$

Paso 4.2.3

Combina $\sin (\frac{x}{4})$ y $\frac{1}{5}$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} \cdot \sin (\frac{x}{4})) = 4 \arcsin (- 5 (- \frac{\sin (\frac{x}{4})}{5}))$

Paso 4.2.4

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 4.2.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sin (\frac{x}{4})}{5}$ al numerador.

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} \cdot \sin (\frac{x}{4})) = 4 \arcsin (- 5 \frac{- \sin (\frac{x}{4})}{5})$

Paso 4.2.4.2

Factoriza $5$ de $- 5$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} \cdot \sin (\frac{x}{4})) = 4 \arcsin (5 (- 1) (\frac{- \sin (\frac{x}{4})}{5}))$

Paso 4.2.4.3

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} \cdot \sin (\frac{x}{4})) = 4 \arcsin (5 \cdot (- 1 \frac{- \sin (\frac{x}{4})}{5}))$

Paso 4.2.4.4

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} \cdot \sin (\frac{x}{4})) = 4 \arcsin (- 1 (- \sin (\frac{x}{4})))$

Paso 4.2.5

Multiplica.

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Paso 4.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} \cdot \sin (\frac{x}{4})) = 4 \arcsin (1 \sin (\frac{x}{4}))$

Paso 4.2.5.2

Multiplica $\sin (\frac{x}{4})$ por $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} \cdot \sin (\frac{x}{4})) = 4 \arcsin (\sin (\frac{x}{4}))$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (4 \arcsin (- 5 x))$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (4 \arcsin (- 5 x)) = - \frac{1}{5} \cdot \sin (\frac{4 \arcsin (- 5 x)}{4})$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.3.3.1

Cancela el factor común.

$f (4 \arcsin (- 5 x)) = - \frac{1}{5} \cdot \sin (\frac{4 \arcsin (- 5 x)}{4})$

Paso 4.3.3.2

Divide $\arcsin (- 5 x)$ por $1$ .

$f (4 \arcsin (- 5 x)) = - \frac{1}{5} \cdot \sin (\arcsin (- 5 x))$

Paso 4.3.4

Las funciones seno y arcoseno son inversas.

$f (4 \arcsin (- 5 x)) = - \frac{1}{5} \cdot (- 5 x)$

Paso 4.3.5

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 4.3.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{5}$ al numerador.

$f (4 \arcsin (- 5 x)) = \frac{- 1}{5} \cdot (- 5 x)$

Paso 4.3.5.2

Factoriza $5$ de $- 5 x$ .

$f (4 \arcsin (- 5 x)) = \frac{- 1}{5} \cdot (5 (- x))$

Paso 4.3.5.3

Cancela el factor común.

$f (4 \arcsin (- 5 x)) = \frac{- 1}{5} \cdot (5 (- x))$

Paso 4.3.5.4

Reescribe la expresión.

$f (4 \arcsin (- 5 x)) = - 1 \cdot (- x)$

Paso 4.3.6

Multiplica.

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Paso 4.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (4 \arcsin (- 5 x)) = 1 \cdot x$

Paso 4.3.6.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$f (4 \arcsin (- 5 x)) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = 4 \arcsin (- 5 x)$ es la inversa de $f (x) = - \frac{1}{5} \cdot \sin (\frac{x}{4})$ .

$f^{- 1} (x) = 4 \arcsin (- 5 x)$