Trigonometría Ejemplos

$\tan (\arccos (5 x))$

Step 1

Intercambia las variables.

$x = \tan (\arccos (5 y))$

Step 2

Resuelve $y$

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Reescribe la ecuación como $\tan (\arccos (5 y)) = x$ .

$\tan (\arccos (5 y)) = x$

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $\arccos (5 y)$ del interior de la tangente.

$\arccos (5 y) = \arctan (x)$

Resta la inversa del arcocoseno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior del arcocoseno.

$5 y = \cos (\arctan (x))$

Simplifica el lado derecho.

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Simplifica $\cos (\arctan (x))$ .

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Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(1, x)$ , $(1, 0)$ y el origen. Entonces $\arctan (x)$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(1, x)$ . Por lo tanto, $\cos (\arctan (x))$ es $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$5 y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$5 y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Combina y simplifica el denominador.

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Multiplica $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$5 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Eleva $\sqrt{1 + x^{2}}$ a la potencia de $1$ .

$5 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Eleva $\sqrt{1 + x^{2}}$ a la potencia de $1$ .

$5 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}}$

Suma $1$ y $1$ .

$5 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}$

Reescribe ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ como $1 + x^{2}$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 + x^{2}}$ como ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$5 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$5 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$5 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Reescribe la expresión.

$5 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}}$

Simplifica.

$5 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

Divide cada término en $5 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ por $5$ y simplifica.

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Divide cada término en $5 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ por $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}}{5}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $5$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{5 y}{5} = \frac{\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}}{5}$

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}}{5}$

Simplifica el lado derecho.

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Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{5}$

Multiplica $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ por $\frac{1}{5}$ .

$y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{(1 + x^{2}) \cdot 5}$

Mueve $5$ a la izquierda de $1 + x^{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}$

Step 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}$ es la inversa de $f (x) = \tan (\arccos (5 x))$ .

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Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Evalúa $f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x)))$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\sqrt{1 + \tan^{2} (\arccos (5 x))}}{5 (1 + \tan^{2} (\arccos (5 x)))}$

Reorganiza los términos.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\sqrt{\tan^{2} (\arccos (5 x)) + 1}}{5 (1 + \tan^{2} (\arccos (5 x)))}$

Aplica la identidad pitagórica.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\sqrt{\sec^{2} (\arccos (5 x))}}{5 (1 + \tan^{2} (\arccos (5 x)))}$

Reorganiza los términos.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\sqrt{\sec^{2} (\arccos (5 x))}}{5 (\tan^{2} (\arccos (5 x)) + 1)}$

Aplica la identidad pitagórica.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\sqrt{\sec^{2} (\arccos (5 x))}}{5 \sec^{2} (\arccos (5 x))}$

Simplifica el numerador.

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Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\sec (\arccos (5 x))}{5 \sec^{2} (\arccos (5 x))}$

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(5 x, \sqrt{1^{2} - {(5 x)}^{2}})$ , $(5 x, 0)$ y el origen. Entonces $\arccos (5 x)$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(5 x, \sqrt{1^{2} - {(5 x)}^{2}})$ . Por lo tanto, $\sec (\arccos (5 x))$ es $\frac{1}{5 x}$ .

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\frac{1}{5 x}}{5 \sec^{2} (\arccos (5 x))}$

Simplifica el denominador.

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$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\frac{1}{5 x}}{5 {(\frac{1}{5 x})}^{2}}$

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Aplica la regla del producto a $\frac{1}{5 x}$ .

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\frac{1}{5 x}}{5 (\frac{1^{2}}{{(5 x)}^{2}})}$

Aplica la regla del producto a $5 x$ .

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\frac{1}{5 x}}{5 (\frac{1^{2}}{5^{2} x^{2}})}$

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\frac{1}{5 x}}{5 (\frac{1}{5^{2} x^{2}})}$

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\frac{1}{5 x}}{5 (\frac{1}{25 x^{2}})}$

Simplifica los términos.

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Combina $5$ y $\frac{1}{25 x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\frac{1}{5 x}}{\frac{5}{25 x^{2}}}$

Reduce la expresión $\frac{5}{25 x^{2}}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Factoriza $5$ de $5$ .

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\frac{1}{5 x}}{\frac{5 (1)}{25 x^{2}}}$

Factoriza $5$ de $25 x^{2}$ .

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\frac{1}{5 x}}{\frac{5 (1)}{5 (5 x^{2})}}$

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\frac{1}{5 x}}{\frac{5 \cdot 1}{5 (5 x^{2})}}$

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\frac{1}{5 x}}{\frac{1}{5 x^{2}}}$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{1}{5 x} \cdot (5 x^{2})$

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = 5 (\frac{1}{5 x}) \cdot x^{2}$

Cancela el factor común de $5$ .

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Factoriza $5$ de $5 x$ .

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = 5 (\frac{1}{5 (x)}) \cdot x^{2}$

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = 5 (\frac{1}{5 x}) \cdot x^{2}$

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{1}{x} \cdot x^{2}$

Cancela el factor común de $x$ .

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Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{1}{x} \cdot (x \cdot x)$

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{1}{x} \cdot (x \cdot x)$

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = x$

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Evalúa $f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \tan (\arccos (5 (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})})))$

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(5 (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}), \sqrt{1^{2} - {(5 (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}))}^{2}})$ , $(5 (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}), 0)$ y el origen. Entonces $\arccos (5 (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}))$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(5 (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}), \sqrt{1^{2} - {(5 (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}))}^{2}})$ . Por lo tanto, $\tan (\arccos (5 (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})})))$ es $\frac{\sqrt{1 - {(\frac{5 \sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})})}^{2}}}{\frac{5 \sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}}$ .

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{1 - {(\frac{5 \sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})})}^{2}}}{\frac{5 \sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}}$

Cancela el factor común de $5$ .

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Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{1 - {(\frac{5 \sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})})}^{2}}}{\frac{5 \sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}}$

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2}}}{\frac{5 \sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}}$

Cancela el factor común de $5$ .

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Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2}}}{\frac{5 \sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}}$

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2}}}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}}$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2}} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2}} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{(1 + \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) (1 - \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Simplifica.

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Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{(\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) (1 - \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{\frac{1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot (1 - \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{\frac{1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot (\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{\frac{1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Multiplica $\frac{1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ por $\frac{1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{\frac{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})}} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Simplifica el denominador.

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Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{\frac{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}{{(1 + x^{2})}^{1 + 1}}} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Suma $1$ y $1$ .

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{\frac{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}{{(1 + x^{2})}^{2}}} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Reescribe $\frac{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ como ${(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2} ((1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}))$ .

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Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})$ .

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{\frac{1^{2} ((1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}))}{{(1 + x^{2})}^{2}}} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Factoriza la potencia perfecta ${(1 + x^{2})}^{2}$ de ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{\frac{1^{2} ((1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}))}{{(1 + x^{2})}^{2} \cdot 1}} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} ((1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}))}{{(1 + x^{2})}^{2} \cdot 1}$ .

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{{(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2} ((1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}))} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Retira los términos de abajo del radical.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{1}{1 + x^{2}} \cdot (\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}}))$

Combina $\frac{1}{1 + x^{2}}$ y $\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}$ .

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Cancela el factor común de $1 + x^{2}$ .

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Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} (\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Combina $\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}$ y $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Multiplica $\frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Combina y simplifica el denominador.

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Multiplica $\frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Eleva $\sqrt{1 + x^{2}}$ a la potencia de $1$ .

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Eleva $\sqrt{1 + x^{2}}$ a la potencia de $1$ .

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}}$

Suma $1$ y $1$ .

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}$

Reescribe ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ como $1 + x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 + x^{2}}$ como ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

Simplifica.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

Combina con la regla del producto para radicales.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2})}}{1 + x^{2}}$

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}$ es la inversa de $f (x) = \tan (\arccos (5 x))$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}$