Trigonometría Ejemplos

$x = y^{2} - 2 y$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $y^{2} - 2 y = x$ .

$y^{2} - 2 y = x$

Paso 2

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} - 2 y - x = 0$

Paso 3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 2$ y $c = - x$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Paso 5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.3

Factoriza $4$ de $4 + 4 x$ .

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Paso 5.1.3.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.3.2

Factoriza $4$ de $4 \cdot 1 + 4 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.4

Reescribe $4 (1 + x)$ como $2^{2} (1^{2} + x)$ .

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Paso 5.1.4.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.4.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$

Paso 5.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{1 + x}$

Paso 6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Paso 6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.3

Factoriza $4$ de $4 + 4 x$ .

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Paso 6.1.3.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.3.2

Factoriza $4$ de $4 \cdot 1 + 4 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.4

Reescribe $4 (1 + x)$ como $2^{2} (1^{2} + x)$ .

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Paso 6.1.4.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.4.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$

Paso 6.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{1 + x}$

Paso 6.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = 1 + \sqrt{1 + x}$

Paso 7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Paso 7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.3

Factoriza $4$ de $4 + 4 x$ .

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Paso 7.1.3.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.3.2

Factoriza $4$ de $4 \cdot 1 + 4 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.4

Reescribe $4 (1 + x)$ como $2^{2} (1^{2} + x)$ .

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Paso 7.1.4.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.4.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$

Paso 7.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{1 + x}$

Paso 7.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = 1 - \sqrt{1 + x}$

Paso 8

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = 1 + \sqrt{1 + x}$

$y = 1 - \sqrt{1 + x}$

Paso 9

Intercambia las variables. Crea una ecuación para cada expresión.

$x = 1 + \sqrt{1 + y}, x = 1 - \sqrt{1 + y}$

Paso 10

Resuelve $y$

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Paso 10.1

Reescribe la ecuación como $1 + \sqrt{1 + y} = x$ .

$1 + \sqrt{1 + y} = x$

Paso 10.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{1 + y} = x - 1$

Paso 10.3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{1 + y}}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Paso 10.4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 10.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 + y}$ como ${(1 + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Paso 10.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.4.2.1

Simplifica ${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 10.4.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 10.4.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Paso 10.4.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.4.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(1 + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Paso 10.4.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(1 + y)}^{1} = {(x - 1)}^{2}$

Paso 10.4.2.1.2

Simplifica.

$1 + y = {(x - 1)}^{2}$

Paso 10.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.4.3.1

Simplifica ${(x - 1)}^{2}$ .

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Paso 10.4.3.1.1

Reescribe ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$1 + y = (x - 1) (x - 1)$

Paso 10.4.3.1.2

Expande $(x - 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 10.4.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 + y = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

Paso 10.4.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 + y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

Paso 10.4.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$1 + y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Paso 10.4.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 10.4.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.4.3.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$1 + y = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Paso 10.4.3.1.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$1 + y = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Paso 10.4.3.1.3.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$1 + y = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Paso 10.4.3.1.3.1.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$1 + y = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

Paso 10.4.3.1.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 + y = x^{2} - x - x + 1$

Paso 10.4.3.1.3.2

Resta $x$ de $- x$ .

$1 + y = x^{2} - 2 x + 1$

Paso 10.5

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 10.5.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y = x^{2} - 2 x + 1 - 1$

Paso 10.5.2

Combina los términos opuestos en $x^{2} - 2 x + 1 - 1$ .

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Paso 10.5.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$y = x^{2} - 2 x + 0$

Paso 10.5.2.2

Suma $x^{2} - 2 x$ y $0$ .

$y = x^{2} - 2 x$

Paso 11

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$

Paso 12

Verifica si $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ es la inversa de $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}, 1 - \sqrt{1 + x}$ .

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Paso 12.1

El dominio de la inversa es el rango de la función original y viceversa. Obtén el dominio y el rango de $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}, 1 - \sqrt{1 + x}$ y $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ y compáralos.

Paso 12.2

Obtén el rango de $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}, 1 - \sqrt{1 + x}$ .

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Paso 12.2.1

Obtén el rango de $1 + \sqrt{1 + x}$ .

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Paso 12.2.1.1

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[1, \infty)$

Paso 12.2.2

Obtén el rango de $1 - \sqrt{1 + x}$ .

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Paso 12.2.2.1

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 1]$

Paso 12.2.3

Obtén la unión de $[1, \infty), (- \infty, 1]$ .

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Paso 12.2.3.1

La unión consiste en todos los elementos contenidos en cada intervalo.

$(- \infty, \infty)$

Paso 12.3

Obtén el dominio de $1 + \sqrt{1 + x}$ .

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Paso 12.3.1

Establece el radicando en $\sqrt{1 + x}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$1 + x \geq 0$

Paso 12.3.2

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$x \geq - 1$

Paso 12.3.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[- 1, \infty)$

Paso 12.4

Como el dominio de $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ es el rango de $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}, 1 - \sqrt{1 + x}$ y el rango de $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ es el dominio de $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}, 1 - \sqrt{1 + x}$ , entonces $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ es la inversa de $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}, 1 - \sqrt{1 + x}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$

Paso 13