Trigonometría Ejemplos

$y = 2 \arcsin (3 x + 7)$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = 2 \arcsin (3 y + 7)$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $2 \arcsin (3 y + 7) = x$ .

$2 \arcsin (3 y + 7) = x$

Paso 2.2

Divide cada término en $2 \arcsin (3 y + 7) = x$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.2.1

Divide cada término en $2 \arcsin (3 y + 7) = x$ por $2$ .

$\frac{2 \arcsin (3 y + 7)}{2} = \frac{x}{2}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \arcsin (3 y + 7)}{2} = \frac{x}{2}$

Paso 2.2.2.1.2

Divide $\arcsin (3 y + 7)$ por $1$ .

$\arcsin (3 y + 7) = \frac{x}{2}$

Paso 2.3

Calcula la inversa del arcoseno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior del arcoseno.

$3 y + 7 = \sin (\frac{x}{2})$

Paso 2.4

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$3 y = \sin (\frac{x}{2}) - 7$

Paso 2.5

Divide cada término en $3 y = \sin (\frac{x}{2}) - 7$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.5.1

Divide cada término en $3 y = \sin (\frac{x}{2}) - 7$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} + \frac{- 7}{3}$

Paso 2.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} + \frac{- 7}{3}$

Paso 2.5.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} + \frac{- 7}{3}$

Paso 2.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{7}{3}$

Paso 3

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{7}{3}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{7}{3}$ es la inversa de $f (x) = 2 \arcsin (3 x + 7)$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (2 \arcsin (3 x + 7))$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \arcsin (3 x + 7)) = \frac{\sin (\frac{2 \arcsin (3 x + 7)}{2})}{3} - \frac{7}{3}$

Paso 4.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (2 \arcsin (3 x + 7)) = \frac{\sin (\frac{2 \arcsin (3 x + 7)}{2}) - 7}{3}$

Paso 4.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.4.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.4.1.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (2 \arcsin (3 x + 7)) = \frac{\sin (\frac{2 \arcsin (3 x + 7)}{2}) - 7}{3}$

Paso 4.2.4.1.2

Divide $\arcsin (3 x + 7)$ por $1$ .

$f^{- 1} (2 \arcsin (3 x + 7)) = \frac{\sin (\arcsin (3 x + 7)) - 7}{3}$

Paso 4.2.4.2

Las funciones seno y arcoseno son inversas.

$f^{- 1} (2 \arcsin (3 x + 7)) = \frac{3 x + 7 - 7}{3}$

Paso 4.2.5

Simplifica los términos.

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Paso 4.2.5.1

Combina los términos opuestos en $3 x + 7 - 7$ .

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Paso 4.2.5.1.1

Resta $7$ de $7$ .

$f^{- 1} (2 \arcsin (3 x + 7)) = \frac{3 x + 0}{3}$

Paso 4.2.5.1.2

Suma $3 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (2 \arcsin (3 x + 7)) = \frac{3 x}{3}$

Paso 4.2.5.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.5.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (2 \arcsin (3 x + 7)) = \frac{3 x}{3}$

Paso 4.2.5.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (2 \arcsin (3 x + 7)) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{7}{3})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{7}{3}) = 2 \arcsin (3 (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{7}{3}) + 7)$

Paso 4.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{7}{3}) = 2 \arcsin (3 (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{3}) + 3 (- \frac{7}{3}) + 7)$

Paso 4.3.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.3.3.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{7}{3}) = 2 \arcsin (3 (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{3}) + 3 (- \frac{7}{3}) + 7)$

Paso 4.3.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{7}{3}) = 2 \arcsin (\sin (\frac{x}{2}) + 3 (- \frac{7}{3}) + 7)$

Paso 4.3.3.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.3.3.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{7}{3}$ al numerador.

$f (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{7}{3}) = 2 \arcsin (\sin (\frac{x}{2}) + 3 (\frac{- 7}{3}) + 7)$

Paso 4.3.3.3.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{7}{3}) = 2 \arcsin (\sin (\frac{x}{2}) + 3 (\frac{- 7}{3}) + 7)$

Paso 4.3.3.3.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{7}{3}) = 2 \arcsin (\sin (\frac{x}{2}) - 7 + 7)$

Paso 4.3.4

Combina los términos opuestos en $\sin (\frac{x}{2}) - 7 + 7$ .

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Paso 4.3.4.1

Suma $- 7$ y $7$ .

$f (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{7}{3}) = 2 \arcsin (\sin (\frac{x}{2}) + 0)$

Paso 4.3.4.2

Suma $\sin (\frac{x}{2})$ y $0$ .

$f (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{7}{3}) = 2 \arcsin (\sin (\frac{x}{2}))$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{7}{3}$ es la inversa de $f (x) = 2 \arcsin (3 x + 7)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{7}{3}$